Enunciado

O número de pessoas N t em uma comunidade que são expostas a um anúncio em particular é dado pela equação logística. Inicialmente N 0 = 500 , e é observado que N 1 = 1000 . Está previsto que o número máximo de pessoas na comunidade que verão o anúncio será 50.000 . Determine N ( t ) em qualquer tempo.

Passo 1

Então pessoal, aqui temos uma situação que nos obriga a utilizar a equação logística, conforme aprendemos na seção em questão. A equação logística é a seguinte:

d P d t = P a - b P

No nosso caso, ao invés de P , temos N , então:

d N d t = N a - b N

Então o que temos que fazer é resolver essa equação diferencial!

Passo 2

Manipulando nossa expressão, teremos:

1 N + b a - b N d N = d t

E agora basta integrarmos ambos os lados e resolver as integrais, então vamo que vamo! Integrando:

∫ 1 N + b a - b N d N = ∫ d t

∫ d N N + b ∫ d N a - b N = ∫ d t

Para o lado esquerdo da nossa expressão, teremos:

∫ d N N + b ∫ d N a - b N = ln ⁡ N - ln ⁡ a - b N + c 1

E para o lado direito, teremos:

∫ d t = t + c 2

Juntando os resultados, teremos:

ln ⁡ N - ln ⁡ a - b N + c 1 = t + c 2

Unindo as constantes:

ln ⁡ N - ln ⁡ a - b N = t + c

Simplificando:

N a - b N = k e t

N = a k b k + e - a t

Show! Encontramos uma expressão para N ! O enunciado também nos dá uma condição inicial N 0 = 500 , então se aplicarmos essa condição, teremos:

500 = a k b k + 1

500 b k + 500 = a k

500 b k - a k = - 500

k 500 b - a = - 500

k = - 500 500 b - a = 500 a - 500 b

Substituindo no nosso resultado:

N = 500 a a - 500 b 500 a - 500 b b + e - a t = 500 a 500 b + a - 500 b e - a t

Beleza!

Passo 3

O enunciado nos diz que o máximo de pessoas alcançadas será N = 50.000 , logo, para um t → ∞ teremos:

N = 500 a 500 b = a b

∴ a b = 50.000

E o enunciado, para completar nossa equação, nos diz que N 1 = 1000 , então teremos:

1000 = 500 a 500 b + a - 500 b e - a

Como a = 50.000 b , então:

a = 0,7033

b = 0,00014

Logo, nossa expressão final será:

N = 50 . 000 1 + 99 e - 0,7033 t

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

N = 50.000 1 + 99 e - 0,7033 t

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Nos Problemas 1-26, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada. x y ' ' - y ' = 0
Resolvay e x y d x d y + x e x y = 12 y 2 sujeito a y 0 = - 1 .
Resolva 6 x + 1 y 2 d y d x + 3 x 2 + 2 y 3 = 0 .