Enunciado

A população p dos EUA no anto t pode ser modelada (em milhões) pela função:

p t = 525 1 + 1,1 e - 0,02225 t - 1990

a) Com base nesse modelo, qual foi a população dos EUA em 1990 ?

b) Faça um gráfico de p versus t para o período de 200 anos que vai de 1950 até 2150 .

c) Calculando um limite apropriado, mostre que o gráfico de p versus t tem uma assíntota horizontal p = c com uma constante c apropriada.

d) Qual é o significado da constante c em b) para a previsão da população por meio desse modelo?

Passo 1

a) Para t = 1990 temos que a população dos EUA foi:

p 1990 = 525 1 + 1,1 e - 0,02225 1990 - 1990

p 1990 = 525 1 + 1,1 e 0 = 525 2,1

∴ p 1990 = 250   m i l h õ e s

Só foi necessário substituir t na função que nos foi dada, nada demais galera!

Passo 2

b) Se plotarmos o gráfico da função que nos foi dada teremos algo nesse tipo, galera:

Algo importante de ressaltar é que aparenta existir uma assíntota horizontal no gráfico, não é mesmo? É um dado importante para as outras questões, vamos guardar!

Passo 3

c) Vamos ver se a função que nos foi dada possui assíntotas horizontais ou não, ok? Para fazermos isso precisamos calcular um limite específico, que é quando t → + ∞ , então bora lá!

lim t → + ∞ ⁡ 525 1 + 1,1 e - 0,02225 t - 1990

Aplicando o limite teremos o seguinte:

lim t → + ∞ ⁡ 525 1 + 1,1 e - 0,02225 t - 1990 = 525 1 + 1,1 . e - ∞ = 525 1 + 1,1 e ∞

∴ lim t → + ∞ ⁡ 525 1 + 1,1 e - 0,02225 t - 1990 = 525   m i l h õ e s

Sendo assim, fica fácil notar que há uma assíntota em p = 525   m i l h õ e s , isto é, a população para de aumentar nas proximidades desse valor.

Passo 4

d) O significado matemático da assíntota é que se trata de um limite em que a curva não pode ultrapassar. Em outras palavras, quando a população dos EUA se aproximar de 525   m i l h õ e s de habitantes haverá uma estabilidade na taxa de natalidade, isto é, a população vai parar de aumentar.

Resposta

a) p 1990 = 250   m i l h õ e s

b)

c) lim t → + ∞ ⁡ 525 1 + 1,1 e - 0,02225 t - 1990 = 525   m i l h õ e s

d) Toda a explicação está no passo 4.

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Prove: lim x → + ∞ ⁡ cotgh ⁡ x = 1
9-40. Encontre os limites.37. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2
9-40. Encontre os limites.36. lim x → - ∞ ⁡ e x + e - x e x - e - x
9-40. Encontre os limites.38. lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ 2 x 2
55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.56. lim x → 0 - ⁡ e 1 x