9-40. Encontre os limites.

37. lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2

Passo 1

Então pessoal, antes de aplicarmos o limite, vamos fazer o possível para simplificar o nosso argumento, tudo bem? O limite que nos foi dado é o seguinte:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2

Conhecendo essa propriedade de logaritmos:

ln ⁡ a b = ln ⁡ a - ln ⁡ b

Podemos fazer:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - ln ⁡ x 2

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ x

Tudo bem, agora sim simplificamos nosso logaritmo!

Passo 2

Uma vez simplificado, acredito que agora podemos aplicar nosso limite. Vamos ver? Se liga:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ x = ln ⁡ 2 - 2 ln ⁡ + ∞

Mas o que seria esse ln ⁡ + ∞ ? Pela definição de logaritmo natural, temos o seguinte:

ln ⁡ + ∞ = e + ∞ = + ∞

Sendo assim, o resultado do nosso limite será:

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = ln ⁡ 2 - ∞

∴ lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = - ∞

E esse é o nosso limite, galera! 😉

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 2 x 2 = - ∞

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