Enunciado

Uma população é modelada pela equação diferencial d P d t = 1,2 P 1 - P 4200

  1. Para quais valores de P a população está aumentando?
  2. Para quais valores de P   a população está diminuindo?
  3. Quais são as soluções de equilíbrio?

Passo 1

  1. Nesse item queremos saber para quais valores de P a EDO aumenta, ou seja, queremos saber quando ela é crescente.
  2. Bom, para saber quando a população está aumentando precisamos que d P d t > 0 . Então,

    1,2 P 1 - P 4200 > 0

    P 1 - P 4200 > 0

    Para uma multiplicação de dois fatores ser positiva precisamos que ambos sejam positivas ou ambas sejam negativas. Como não faz sentido ter uma população negativa basta analisar o caso em que ambs são positivos. Assim,

    P > 0       e         1 - P 4200 > 0

    1 - P 4200 > 0

    - P 4200 > - 1

    P 4200 < 1

    P < 4200

    Neste caso temos que P > 0       e P < 4200 , unindo as duas soluções concluímos que para que a população aumente 0 < P < 4200 .

    Passo 2

  3. Precisamos encontrar quais valores de P fazem a população diminuir, ou seja, deixam a função decrescente. Para que isso aconteça queremos descobrir quando d P d t < 0
  4. 1,2 P 1 - P 4200 < 0

    P 1 - P 4200 < 0

    Como estamos falando de população, ela sempre será positiva, portanto precisamos analisar o caso em que o outro fator é negativo. Desse modo,

    1 - P 4200 < 0

    - P 4200 < - 1

    P 4200 > 1

    P > 4200

    Unindo as duas condições concluímos que a população diminuirá quando   P > 4200

    Passo 3

  5. Agora precisamos encontrar quais valores de P deixam a função constante, ou seja, d P d t = 0

1,2 P 1 - P 4200 = 0

1,2 P = 0

P = 0

Ou

1 - P 4200 = 0

1 = P 4200

P = 4200

Então P = 0   o u   P = 4200

Resposta

  1. 0 < P < 4200
  2. P > 4200
  3. P = 0   o u   P = 4200
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