Enunciado

Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:

  1. Sem eliminar o parâmetro
  2. Primeiro eliminando o parâmetro

x = 1 + ln ⁡ t

y = t 2 + 2

( 1,3 )

Passo 1

a )

Sem eliminar o parâmetro, o vetor tangente à curva é dado por

d y d x = d y d t d x d t

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y :

y = t 2 + 2

d y d t = 2 t

Agora a derivada de x :

x = 1 + ln ⁡ t

d x d t = 1 t

Substituindo na fórmula

d y d x = d y d t d x d t = 2 t 1 t = 2 t 2

Passo 3

Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro correspondente ao ponto de tangencia ( 1,3 ) . Para isso é igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema.

x = 1 + ln ⁡ t = 1

y = t 2 + 2 = 3

Da primeira equação tiramos que

t = 1

Substituindo no vetor tangente, temos:

d y d x = 2 . 1 2 = 2

Passo 4

Assim, a equação da reta tangente fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 3 = 2 ( x - 1 )

y = 2 x + 1

Passo 5

b )

Agora temos que encontrar a mesma reta, só que eliminando o parâmetro t .

Para isso, vamos isolar o t na equação do x :

x = 1 + ln ⁡ t

x - 1 = ln ⁡ t

t = e x - 1

Agora podemos substituir isso na equação do y :

y = t 2 + 2

y = e x - 1 2 + 2

y = e 2 x - 2 + 2

E essa é a equação cartesiana que a nossa curva representa.

Passo 6

Agora para achar a reta tangente disso, é só fazer igual estamos acostumados no cálculo de uma variável.

A gente deriva isso em relação a x e depois substituiu na equação da reta.

Derivando:

d y d x = 2 x e 2 x - 2

No ponto de tangencia x = 1 , assim:

d y d x = 2 . 1 e 2 . 1 - 2 = 2

E a equação da reta tangente no ponto ( 1,3 ) fica:

y - y 0 = d y d x ( x - x 0 )

y - 3 = 2 ( x - 1 )

y = 2 x + 1

Igual achamos pelo outro método!

Resposta

y = 2 x + 1

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