Enunciado

As populações médias de presas e de predadores são definidas por

respectivamente, em que T é o período de um ciclo completo e A é uma constante não negativa arbitrária. Usando a aproximação (24), válida perto do ponto crítico, mostre que = c/γ e = a/aα.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a trajetória a partir das equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser pegar as equações e arrumar a casa.

x = c γ + c γ   K cos ⁡ a c t

y = a α + a α c a   K sin ⁡ a c t

Do seno para o cosseno, temos o período igual a

T = 2 π a c

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

∫ A A + T cos ⁡ a c t + ϕ   d t = 0

∫ A A + T sin ⁡ a c t + ϕ   d t = 0

Com isso, temos:

x - = c γ

y - = a α

Resposta

x - = c γ

y - = a α

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Determine o comportamento limite de x e y quando t → ∞ e interprete os resultados em termos das populações das duas espécies.
Encontre os pontos críticos.
Determine o comportamento limite de x e y quando t → ∞ e interprete os resultados em termos das populações das duas espécies.
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Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoti