Enunciado

Dois aviões A e B voam horizontalmente à mesma altitude. B está a sudoeste de A E 20 km a sul e 20 km a oeste de A. Se o avião A está viajando para oeste e 16 km/min e o avião B está viajando para o norte a 64 3 km/min para o norte.

  1. Em quantos segundos eles estarão mais perto um do outro ?

Passo 1

Visualizar o problema

20

A

B

20

Dab

A

Passo 2

Vemos Que há um triangulo entre A e B, logo podemos usar Pitagoras. OS lados a deste triangulo estão decaindo a uma taxa de 16 km/min e 64 3 km/min , logo a equação fica :

(DAB)² = 20   –   16 t 2 +   20   - 64 3   t 2 (I)

DAB =   20   –   16 t 2 +   20   - 64 3   t 2     (II)

Passo 3

Queremos o valor mínimo de DAB , logo chegamos a uma questão de otimização , assim temos que derivar e igualar a zero.

Uma dica para este problema é que temos é que não precisamos aplicar a raiz quadradra na nossa função. Pois d d t 20   –   16 t 2 +   20   - 64 3   t 2 = 0 , obtermos o mesmo resultado que d d t 20   –   16 t 2 +   20   - 64 3   t 2 = 0 . Logo isso facilita muito nossas contas.

Passo 4

d d t 20   –   16 t 2 +   20   - 64 3   t 2 = 0

2( 20   –   16 t ) .   - 16 + 2 20   - 64 3   t . - 64 3 = 0  

2   .   16 2 t   +   2   .   64 3 2 t = 64   .   40 3 + 40.16  

12800 9 t = 4480 3

t = 21 20

Resposta

T = 21/20 min

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