Enunciado

A seção transversal de uma tina tem a forma de um triangulo isósceles invertido. Se o comprimento dos lados iguais for de 15 cm , ache a medida do ângulo do vértice que dará capacidade máxima à tina.

Passo 1

Figura 1

Passo 2

Temos que algumas relação de trigonometria :

S e n 2 ϕ + c o s 2 ϕ = 1   ( I )

2y + 2x = 180 (II)

a² + h² = 15² (III)

Queremos descobrir o valor de 2y que nos dê a maior área

Podemos fazer que cos y = h/15 (IV)

Usando (IV) em (III) :

a² + (15 cos y)² = 15²

a² = 15² - 15²cos²y

a² = 15²(1-cos²y)

Usando a relação (I)

a² = 15² sen²y

a= 15seny (V)

A área de triangulo é b.h/2

NO nosso Caso, usando as relações (IV) e (V) , temos que A = 2 a h 2 = 15   s e n y .   15 c o s y    

A(y) =   15 2 s e n y c o s y

Sabendo que s e n 2 ϕ = 2 s e n ϕ c o s ϕ

Temos que A(y) = 15 2 s e n 2 y 2  

Otimizando A(y). Ou seja , d A d y = 0

d A d y = 15 2 2 .   2 c o s 2 y = 0

Cos2y=0

2y = π 2

Resposta

2y = π 2

Ou seja o ângulo do vértice da tina de maior área é π 2

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