Enunciado

Considere uma barra de alumínio, com 20 cm de comprimento, inicialmente a uma temperatura uniforme de 25°C. Suponha que, no instante t = 0, a extremidade x = 0 é esfriada a 0°C, enquanto a extremidade x = 20 é aquecida a 60°C, e ambas são mantidas, daí para frente, a essas temperaturas.

  1. Encontre a distribuição de temperatura na barra em qualquer instante t.
  2. Faça os gráficos da distribuição inicial de temperatura, da distribuição final (estado estacionário) e de duas distribuições em dois instantes representativos intermediários no mesmo conjunto de eixos.
  3. Faça o gráfico de u em função de t para x = 5, 10 e 15.
  4. Determine o intervalo de tempo necessário para que a temperatura em x = 5 cm alcance um intervalo de 1% (e permaneça nesse intervalo) em torno de seu valor no estado estacionário.

Passo 1

Letra a:

Temos as seguintes condições:

α 2 u x x = u t     0 < x < 20 ,   t > 0 .

u ( 0 , t ) = 0 ,   t > 0

u ( 20 , t ) = 60 ,   t > 0

u ( x , 0 ) = 25 ,   0 < x < 20

Para L = 20 , a partir da tabela 10.5.1 na página 624, temos que α 2 = 0.86

A solução para esse problema é dada pelas fórmulas 16 e 17 na página 634:

u ( t , x ) = ( T 2 - T 1 ) x L + T 1 + ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 α 2 t L 2 s e n ( n π x L )

c n = 2 L ∫ 0 L [ f ( x ) - ( T 2 - T 1 ) x L - T 1 ] s e n ( n π x L ) d x

Para encontrar c n :

c n = 70 c o s ( n π ) + 50 n π

Então:

u ( t , x ) = 3 x   +   ∑ n = 1 ∞ 70 c o s ( n π ) + 50 n π e - 0.86 n 2 π 2 t 400 s e n ( n π x 20 )

Passo 2

Letra b:

Início:

Final:

Dois tempos intermediários:

Passo 3

Na letra c:

u versus t, para x=5, x=10, x=15

Passo 4

Na letra d:

Como e - t 🠂 0   c o m   t 🠂 ∞ concluímos que o estado estacionário da solução é 3x, ou x=5,15

Podemos observar o gráfico de u versus t da solução para x = 5 e procurar o tempo t de modo que a solução esteja dentro de 1% de 15. Podemos mover o ponto no gráfico para ver que na primeira vez a solução está dentro 15 ± 0.15 é 160.2 .

Resposta

  1. u ( t , x ) = 3 x   +   ∑ n = 1 ∞ 70 c o s ( n π ) + 50 n π e - 0.86 n 2 π 2 t 400 s e n ( n π x 20 )
  2. 15 ± 0.15
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30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =
Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + π 2 y = a , y ' 0 = 0 ,
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y =
Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções. y ' ' + 2 y = - x , y 0 = 0 , y ' 1 = 0 Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 7.
Usando o método do Problema 17, transforme o problema y ' ' + 2 y = 2 - 4 x , y 0 = 1 , y 1 + y ' 1 = - 2 em um novo problema no qual as condições de contorno são homogêneas. Resolva este último probl