Enunciado

30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville

L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,               ( i )

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 ,                 β 1 1 + β 2 y ' 1 = 0             i i

tem uma solução em termos de uma função de Green

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s                     i i i

Desde que λ = 0 não seja um autovalor de L y = λ y sujeita às condições de contorno i i . Além disso, G x ,   s é dada por

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1                     i v

em que y 1 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   0 , y 2 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   1 , e W ( y 1 ,   y 2 ) é o wronskiano de y 1 e y 2 .

(a) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 28, é fornecida pela fórmula (iv).

(b) Verifique se a função de Green, obtida no Problema 29, é determinada pela fórmula (iv).

(c) Prove que p ( x ) W y 1 ,   y 2 ( x ) é uma constante, mostrando que sua derivada é nula.

(d) Usando a Eq. (iv) e o resultado do item (c), mostre que G ( x ,   s )   =   G ( s ,   x ) .

(e) Verifique se y   = ϕ ( x ) na Eq. (iii), com G ( x ,   s ) dada pela Eq. (iv), satisfaz a equação diferencial (i) e as condições de contorno (ii).

Passo 1

L e t r a   B :

No problema 28, trabalhamos com a equação diferencial:

- y ' ' + y = f x

Onde a solução de Green encontrada foi:

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

Onde provamos que G x ,   s é:

G x ,   s = sin ⁡ s sin ⁡ 1 - x sin ⁡ 1 ,           0 ≤ s ≤ x ,   sin ⁡ x sin ⁡ 1 - s sin ⁡ 1 ,           x ≤ s ≤ 1 ,

Para chegar nessa solução, forma usadas as condições iniciais:   y ( 0 )   =   0 , y ( 1 )   =   0

Passo 2

Aqui nesse problema, vemos que a equação i :

L y = - p x y ' ' + q x y = f x

Tem sua solução na equação i i i :

y = ϕ x = ∫ 0 1 G x ,   s f s d s

(que é a mesma equação de Green que chegamos no problema 28) onde G x ,   s é da forma como na equação i v :

G x ,   s = - y 1 s y 2 x p x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s p x W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1

Passo 3

Comparando o problema 28 revisado no passo 1, com o problema a equação de Liouville, chegaremos que no nosso caso temos:

L y = - p x y ' ' + q x y = f x               →                           - y ' ' + y = f x

Ou seja:

p x = 1                   e                   q x = - 1

Dessa forma simplificamos a nossa função G para:

G x ,   s = - y 1 s y 2 x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1

Agora quem são y 1 e y 2 do problema 28?

Passo 4

Bem, pelo enunciado da nossa questão...

y 1 é uma solução de L [ y ]   =   0 satisfazendo a condição de contorno em x   =   0 ”.

No nosso caso...

L y = 0             →             - y ' ' + y = 0     →

y ' ' + y = 0

A solução dessa EDO de segunda ordem homogênea é:

y = c 1 sin ⁡ x + c 2 cos ⁡ x

Logo, como a condição em x = 0 do nosso problema é:

y 0 =   0             →

y 0 = c 1 sin ⁡ 0 + c 2 cos ⁡ 0     →

c 2 = 0

Ou seja, y 1 = c 1 sin ⁡ x . Podemos escolher c 1 = 1 , por exemplo, já que o problema não foi muito específico.

Para o y 2 , do mesmo jeito, mas agora a solução deve satisfazer...

y ( 1 )   =   0

Que é a condição em 1 , saca? Então...

y 1 = c 1 sin ⁡ 1 + c 2 cos ⁡ 1         →

0 = c 1 sin ⁡ 1 + c 2 cos ⁡ 1

Se escolhermos c 1 e c 2 de modo que...

0 = - cos ⁡ 1 sin ⁡ 1 + sin ⁡ 1 cos ⁡ 1

Então y 2 será...

y = c 1 sin ⁡ x + c 2 cos ⁡ x   →

y 2 = - cos ⁡ 1 sin ⁡ x + sin ⁡ 1 cos ⁡ x

O bom de fazer escolha é que pelo seno da soma...

y 2 = sin ⁡ 1 - x

Sacou?

Passo 5

Beleza! Então chegamos às soluções:

y 1 = sin ⁡ x

y 2 = sin ⁡ 1 - x

Calculando o wronskiano delas:

W y 1 ,   y 2 = sin ⁡ x sin ⁡ 1 - x cos ⁡ x - cos ⁡ 1 - x =

- sin ⁡ x cos ⁡ 1 - x - sin ⁡ 1 - x cos ⁡ x =

- sin ⁡ x + 1 - x

- sin ⁡ 1  

Agora é só substituir, trocando o x por s onde tiver que trocar:

G x ,   s = - y 1 s y 2 x W y 1 ,   y 2 x ,               0 ≤ s ≤ x   - y 1 x y 2 s W y 1 ,   y 2 x ,               x ≤ s ≤ 1       →

G x ,   s = - sin ⁡ s sin ⁡ 1 - x - sin ⁡ 1 ,               0 ≤ s ≤ x   - sin ⁡ 1 - x sin ⁡ s - sin ⁡ 1 ,               x ≤ s ≤ 1   →

G x ,   s = sin ⁡ s sin ⁡ 1 - x sin ⁡ 1 ,               0 ≤ s ≤ x   sin ⁡ 1 - x sin ⁡ s sin ⁡ 1 ,               x ≤ s ≤ 1   →

É exatamente o G x ,   s do problema 28 resumido no passo 1! O que comprova que de fato o a função de Green obtida no exercício 28 satisfaz as condições do problema 30 .

Resposta

Questão de demonstração.

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