Enunciado

Nos problemas 31 a 34, resolva o problema de valor de contorno dado determinando a função de Green apropriada a expanssando a solução como uma integral definida. Use as equações de (i) a (iv) do problema 30.

31. - y ' ' = f x ,   y ' 0 = 0 ,   y 1 = 0 .

Passo 1

A solução geral da EDO é dado por

y = c 1 + c 2 x

Conseguimos observar então que y 1 x = 1 satisfaz y ' 0 = 0 e que a função y 2 x = 1 - x satisfaz y 1 = 0 .

O Wronskiano dessa solução é dado por

W y 1 , y 2 = - 1

Baseado no problema 30, com p x = 1 ,   a função de green é dada por

G x , s = 1 - x ,   0 ≤ s ≤ x 1 - s ,   x ≤ s ≤ 1 .

Passo 2

Então com isso vemos a solução do PVC nos é dada por

ϕ x = ∫ 0 x 1 - x f s d s + ∫ x 1 1 - s f s d s

Resposta

G x , s = 1 - x ,   0 ≤ s ≤ x 1 - s ,   x ≤ s ≤ 1 .

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Em cada um dos problemas de 1 a 5, resolva o problema dado usando expansão em autofunções. y ' ' + 2 y = - x , y ' 0 = 0 , y ' 1 = 0 Sugestão: veja a Seção 11.2, Problema 3.
Em cada um dos problemas de 19 a 22, use expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de valores de contorno dado. u t = u x x + e - t 1 - x , u 0 ,t = 0 , u x 1 ,t = 0 ,u x ,0 = 0 Vej
30. É possível mostrar que o problema de Sturm-Liouville L y = - p x y ' ' + q x y = f x ,( i ) α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = 0 , β 1 y 1 + β 2 y ' 1 = 0 i i tem uma solução em termos de uma função de Green y
Em cada um dos problemas de 10 a 13, determine se existe algum valor da constante a para o qual o problema tem solução. Encontre a solução para cada um desses valores. y ' ' + π 2 y = a + x , y 0 = 0
A - Mostre pelo método de variação dos parâmetros, que a solução geral da equação diferencial - y ' ' = f x pode ser escrita na forma y = ϕ x = c 1 + c 2 x - ∫ 0 x ( x - s ) f s d s Em que c 1 e c 2 s