Neste problema, vamos explorar um pouco mais a analogia entre problemas de Sturm-Liouville de valores de contorno e matrizes auto adjuntas. Seja A uma mátria autoadjunta n \* n com autovalores lambda_1, ..., lambda_n e autovalores ortogonais correspondentes ξ^1, ..., ξ^n

Considere o sistema não homogêneo de equações

Ax - μx = b, i

onde mu é um número real dado e b é um vetor dado. Vamos mostrar um modo de resolvera equação acima que é análogo ao método do apresentado no texto para se resolver as Eq (1) e (2).

a) Mostre que

b = ∑ i = 1 n b i ξ i ,   o n d e   b i = b ,   ξ j

b) Suponha que

x = ∑ i = 1 n a i ξ i

e mostre que para que a Eq (i) seja satisfeita, é necessário que ai = b1 / (λi - μ) . Logo

x = ∑ i = 1 n b i ξ i λ i - μ ξ ( i )                           ( i i )  

desde que mu não seja um dos autovalores de A, mu != lambda_i , para i = 1,2...n Compara esse resultado com a Eq. 13.

Funções de Green. Considere o sistema não homogêneo de equações algébricas

Ax - μx = b (i)

onde A é uma mátria autoadjunta n \* n, mu é um número real dado e b é um vetor dado. Em vez de usar uma expansão em autovetores como no problema 27, podemos resolver a Eq (i) calculando a matriz inversa (A - μI)^-1 , que existe se mu não é umautovalor de A . Então

x = (A - μI)^(-1) b (ii)

Passo 1

a) Observe que os autovetores são ortogonais. Dado o vetor b .

b = ∑ i = 1 n b i ξ i

Fazendo o produto intenro, com ξ ( j ) em ambos os lados da equação nós temos

b ,   ξ j = b j ξ j ,   ξ j

Passo 2

b) Consideremos a solução na forma

x = ∑ i = 1 n a i ξ i

Substituindo na eq (i), e usando a forma acima de b

∑ i = 1 n a i ξ i = ∑ i = 1 n μ a i ξ i = ∑ i = 1 n b i ξ i

Isso segue que

∑ i = 1 n [ a i λ i - μ a i - b i ] ξ i = 0  

Como os autovetores são linearmente independentes

a i λ i - μ a i - b i = 0   p a r a   i = 1,2 , … , n

Isso faz com que

x = ∑ i = 1 n b , ξ i λ i - μ ξ i

desde que μ não sera igual à um dos autovalores.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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