Enunciado

A pressão atmosférica P decresce à medida que a altura h aumenta. A uma temperatura de 15° C, a pressão é 101,3 quilopascals (kPa) no nível do mar, 87,1 kPa a h = 1 km e 74,9 kPa a h = 2 km. Use uma aproximação linear para estimar a pressão atmosférica a uma altitude de 3 km.

Passo 1

Se P ( h ) é a função que diz a pressão na altura h , podemos linearizar a função para encontrar a pressão para encontrar a pressão em uma altura desconhecida da seguinte maneira:

L h = P h 0 + P ' ( h 0 ) ( h - h 0 )

Onde h 0 é um valor próximo do ponto h para o qual queremos calcular a aproximação L da função P . Se escolhermos h 0 = 2 km, nossa linearização para h = 3 fica assim:

L 3 = P ( 2 ) + P ' ( 2 ) ( 3 - 2 )

⇒ L 3 = 74,9 + P ' ( 2 )

Passo 2

Agora precisamos de uma aproximação para a derivada da pressão em relação a altura para h = 2 km, P ' ( 2 ) . Podemos aproximar esse valor pela taxa de variação média da pressão entre 1 e 2 km:

P ' 2 = P 2 - P 1 2 - 1 = 74,9 - 87,1 = - 12,2   k P a / k m

Então:

L 3 = 74,9 - 12,2 = 62,7   k P a

Resposta

L 3 = 74,9 - 12,2 = 62,7   k P a

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