Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (a + b)/(sqrt(a x^2 + 2 b x + c)) d x

Passo 1

Para resolver essa questão vamos utilizar a seguinte substituição:

a x^2 + 2 b x + c = u

Derivando ambos os lados vamos obter

2 a x + 2 b = (d u)/(d x) -> a x + b d x = (d u)/(2)

Nossa integral pode ser reescrita como sendo

(1)/(2) * int (d u)/(sqrt(u)) = (1)/(2) * (u^(- (1)/(2) + 1))/((- (1)/(2) + 1)) + C = u^((1)/(2)) + C

Retornando para a variável x de origem temos a resposta do problema que é dada por

(a x^2 + 2 b x + c)^((1)/(2)) + C

Resposta

(a x^2 + 2 b x + c)^((1)/(2)) + C

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