Enunciado

O Princípio de Fermat (biografia à página 275) na óptica afirma que a luz, viajando de um ponto para outro, segue aquele caminho para o qual o tempo total no percurso é mínimo. Em um meio uniforme, os caminhos de “tempo mínimo” e de “menor distância” vêm a ser iguais; assim, a luz se não obstruída, viaja em linha reta. Suponha que tenhamos uma fonte de luz, um espelho plano e um observador em um meio uniforme. Se um raio de luz deixa a fonte, bate em um espelho e vai até o observador, então sua trajetória consiste em dois segmentos de reta, conforme mostra a Figura Ex-64. De acordo com o princípio de Fermat, a trajetória é tal que o tempo t gasto no percurso é mínimo ou, como o meio é uniforme, a trajetória será tal que a distância total percorrida de A a P a B será a menor possível. Supondo que o mínimo ocorre quando d t d x = 0 , mostre que o raio de luz irá atingir o espelho em um ponto P , tal que o “ângulo de incidência” θ 1 será igual ao “ângulo de reflexão” θ 2 .

Passo 1

Então pessoal, de acordo com o que o enunciado nos diz, temos que a luz sai da fonte no ponto A , bate em P e reflete seguindo para B . Sendo assim, fica claro concluirmos que a luz percorre dois trajetos, certo? O primeiro trajeto é de A até P e o segundo é de P até B . Como queremos uma expressão para o tempo (para utilizarmos o Princípio de Fermat), então vamos utilizar o conceito da cinemática. Velocidade é:

v = ∆ S t

Se isolarmos t , teremos:

t = ∆ S v

Como temos dois tempos, nossa expressão será:

t = t 1 + t 2

t = ∆ S 1 v + ∆ S 2 v = 1 v ∆ S 1 + ∆ S 2

Show!

Passo 2

Olhando para o triângulo retângulo da direita na figura do enunciado, temos o seguinte:

∆ S 1 2 = c - x 2 + a 2

∆ S 1 = c - x 2 + a 2

E olhando para o triângulo retângulo da esquerda, teremos:

∆ S 2 2 = x 2 + b 2

∆ S 2 = x 2 + b 2

Logo, nossa expressão será:

t = 1 v ∆ S 1 + ∆ S 2

t x = 1 v c - x 2 + a 2 + x 2 + b 2

E essa é a nossa expressão para o tempo gasto no percurso. Como o mínimo ocorre quando d t d x = 0 , então:

d t d x = 1 v   - c - x c - x 2 + a 2 + x x 2 + b 2

Igualando a zero:

1 v   - c - x c - x 2 + a 2 + x x 2 + b 2 = 0

E para isso dar zero:

x x 2 + b 2 = c - x c - x 2 + a 2

Show!

Passo 3

Então galera, no passo anterior chegamos em uma igualdade muito interessante! Se observarmos bem, o lado esquerdo da equação é o seguinte:

x x 2 + b 2 = s e n   θ 2

Já o lado direito da equação é o seguinte:

c - x c - x 2 + a 2 = s e n   θ 1

Se substituirmos esses resultados, teremos:

s e n   θ 1 = s e n   θ 2

Que implica em:

θ 1 = θ 2

Como queríamos demonstrar!

E essa é a nossa prova, galera! 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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