Enunciado

Nos problemas 1-10, determine uma região do plano x y para a qual a equação diferencial teria uma única solução passando por um ponto ( x 0 , y 0 ) na região.

x 2 + y ² . y ' = y ²

Passo 1

Nos problemas de 1 a 10, vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação x 2 + y ² . y ' = y ²

d y d x = y 2 x 2 + y ²

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = y 2 x 2 + y ²

E, nesse caso, usando a regra do quociente:

∂ f ∂ y = 2 x ² y ( x 2 + y ² ) ²

Que não está definida para os valores que zeram o denominador. O único ponto que zera o denominador é ( 0,0 )

Então, a equação diferencial x 2 + y ² . y ' = y ² vai ter solução única em qualquer região que não contenha o ponto ( 0,0 )

Resposta

Qualquer região que não contenha o ponto ( 0,0 )

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