Enunciado

Em cada um dos problemas de 9 e 10, seja ϕ 0 t = 0 e use o método das aproximações sucessivas para resolver o problema de valor inicial dado.

  1. Calcule ϕ 1 t , … , ϕ 3 t
  2. Faça o gráfico de ϕ 1 t , … , ϕ 3 t e observe se os iterados parecem estar convergindo.

y ' = t 2 + y 2 ,       y 0 = 0

Passo 1

Se supusermos, temporatiamente, que existe uma função y = ϕ ( t ) que satifaz o problema de valor inicial, então f t , ϕ t é uma função contínui que só depende de t . Logo, podemos integrar y ' = f t , y do ponto inicial t = 0 até um valor arbitrário de t , obtendo

ϕ t = ∫ 0 t f s , ϕ s d s

Em que usamos a condição inicial ϕ 0 = 0 . Usamos também s para denotar a variável de integração.

Passo 2

(a) Assim vamos usar a suposição dada no passo 1 e prevista no Teorema 2.8.1 e vamos fazer que

ϕ n t = ∫ 0 t f s , ϕ n - 1 s d s

Assim tomando que ϕ 0 s = 0

ϕ 1 t = ∫ 0 t s 2 + ϕ 0 s 2 d s = t 3 3

Seguindo temos

ϕ 2 t = ∫ 0 t s 2 + ϕ 1 s 2 d s = ∫ 0 t s 2 + s 6 9 d s = t 3 3 + t 7 7 ⋅ 9

ϕ 3 t = ∫ 0 t s 2 + ϕ 2 s 2 d s = ∫ 0 t s 2 + t 6 9 + t 14 7 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ 9 + 2 t 10 3 ⋅ 7 ⋅ 9 d s =

= t 3 3 + t 7 7 ⋅ 9 + 2 t 11 3 ⋅ 7 ⋅ 9 ⋅ 11 + t 15 7 ⋅ 9 2 ⋅ 15

Passo 3

(b) Plotando o nosso pequeno graficozinho, onde temos que n = 1 → a z u l ,   n = 2 → L a r a n j a ,   n = 3 → V e r d e

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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