Enunciado

Nos problemas 1-40, resolva a equação diferencial dada por separação de variável.

12. d x d y = 1 + 2 y 2 y . s e n   x

Passo 1

Então pessoal, de início vale ressaltar que é interessantíssimo ter uma boa base de integração para resolver os problemas de equações diferenciais, tudo bem? Sendo assim, caso você não se lembre muito bem das técnicas de integração, sugiro dar uma revisada antes de iniciar o curso de equações diferenciais, belê? Show!

O exercício quer que a gente resolva a equação diferencial dada utilizando o método de separação de variáveis. Basicamente o que precisamos fazer é deixar tudo que tem x de um lado da equação e tudo que tem y do outro lado da equação e depois integrar tudo. Pareceu complicado? Bora descomplicar então!

Passo 2

A equação que nos foi dada é essa aqui:

d x d y = 1 + 2 y 2 y . s e n   x

Isolando as variáveis em cada lado da equação, teremos:

s e n   x . d x = 1 + 2 y 2 y d y

s e n   x . d x = 1 y + 2 y d y

Show! Variáveis devidamente separadas. Simbora para o último passo!

Passo 3

Agora que isolamos as variáveis o próximo passo é integrar ambos os lados, se liga:

∫ s e n   x d x = ∫ 1 y + 2 y d y

∫ s e n   x d x = ∫ 1 y d y + 2 ∫ y d y

Para a integral da esquerda já temos um resultado tabelado e bem definido. O resultado é o seguinte:

∫ s e n   x d x = - cos ⁡ x + c 1

Para a primeira integral da direita também já temos um resultado tabelado, assim como já discutimos em questões anteriores. O resultado é:

∫ 1 y d y = ln ⁡ y + c 2

Já para a segunda integral da direita devemos utilizar a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + c

Aplicando a ideia, teremos:

2 ∫ y d y = 2 y 2 2 + c 3 = y 2 + c 3

Passo 4

Por fim, igualando os resultados que encontramos no passo anterior, teremos:

- cos ⁡ x + c 1 = ln ⁡ y + c 2 + y 2 + c 3

Juntando c 1 , c 2 e c 3 teremos uma quarta constante que vamos chamar de c 4 , ok? Logo, nosso resultado será:

ln ⁡ y + y 2 = - cos ⁡ x + c 4

E essa é a nossa função!

Resposta

ln ⁡ y + y 2 = - cos ⁡ x + c 4

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