Enunciado

Nos problemas 19-22, use o procedimento ilustrado no exemplo 9 para encontrar duas soluções, em série de potências, para a equação diferencial dada em torno do ponto ordinário x = 0

y ' ' + e x y ' - y = 0

Passo 1

Vamos lááá

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO em torno de x = 0

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' + e x y ' - y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 + 1 - x + 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + … c 1 + 2 c 2 x + 3 c 3 x 2 + … - ∑ n = 0 ∞ c n . x n

Que podemos escrever assim:

y ' ' + e x y ' - y = 2 c 2 + 6 c 3 x + 12 c 4 x 2 + 20 c 5 x 3 + … + c 1 + 2 c 2 + c 1 x + 3 c 3 + 2 c 2 + 1 2 c 1 x 2 + … - c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + …

Eita

Passo 2

Onde paramos mesmo?

y ' ' + e x y ' - y = 2 c 2 + 6 c 3 x + 12 c 4 x 2 + 20 c 5 x 3 + … + c 1 + 2 c 2 + c 1 x + 3 c 3 + 2 c 2 + 1 2 c 1 x 2 + … - c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + …

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo isso tudo aí, temos

y ' ' + e x y ' - y = 2 c 2 + c 1 - c 0 + 6 c 3 + 2 c 2 x + 12 c 4 + 3 c 3 + c 2 + 1 2 c 1 x 2 + … = 0

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

2 c 2 + c 1 - c 0 = 0

6 c 3 + 2 c 2 = 0

12 c 4 + 3 c 3 + c 2 + 1 2 c 1 = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = 1 2 c 0 - 1 2 c 1

c 3 = - 1 3 c 2

c 4 = - 1 4 c 3 + 1 1 2 c 2 - 1 24 c 1

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = 1 2 c 0 - 1 2 c 1

c 3 = - 1 3 c 2

c 4 = - 1 4 c 3 + 1 12 c 2 - 1 24 c 1

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos:

c 2 = 1 2

c 3 = - 1 6

c 4 = 0

O que nos dá a primeira solução:

y 1 = 1 + 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + …

E fazendo c 0 = 0 e c 1 = 1 , temos

c 2 = - 1 2

c 3 = 1 6

c 4 = - 1 24

O que nos dá a segunda solução:

y 2 = x - 1 2 x 2 + 1 6 x 3 - 1 24 x 4 + …

Ufaaa, e fim!!

Resposta

y 1 = 1 + 1 2 x 2 - 1 6 x 3 + …

y 2 = x - 1 2 x 2 + 1 6 x 3 - 1 24 x 4 + …

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