Enunciado

Nos problemas 1-10, encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas.

∑ k = 1 ∞ x - 3 n n 3

Passo 1

Oi, tudo bem?

Então, pra saber o intervalo de convergência da série, a gente calcula o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Que no nosso caso é:

lim n → ∞ ⁡ x - 3 n + 1 n + 1 3   x - 3 n n 3 =   l i m n → ∞   x - 3 n + 1 n + 1 3 ⋅ n 3 x - 3 n

=   l i m n → ∞   n 3 | ( x - 3 ) | n + 1 3 = | x - 3 |

Passo 2

A série converge absolutamente para x - 3 < 1 , ou seja:

( 2,4 )

Agora, para x = 2 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3

Essa série converge pelo teste da série alternada.

Já para x = 4 , temos a série:

∑ n = 1 ∞ 1 n 3

Que é uma série-p, com p > 1 , então converge.

Então, temos que a série converge em:

[ 2,4 ]

Resposta

[ 2,4 ]

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A equação diferencial y ' ' - 2 x y + 2 n y = 0 é conhecida como equação de Hermite. Quando n ≥ 0 é um inteiro, a equação de Hermite apresenta solução polinomial. Os polinômios de Hermite têm alguma i
Na análise de uma coluna fina e uniforme de altura L que se curva sob a ação do próprio peso, encontramos o seguinte problema de valor de contorno: θ ' ' + δ g E I L - x θ = 0 , θ 0 = 0 , θ ' L = 0 Aq
Nos problemas 23 e 24, use o método de séries de potências para resolver a equação não homogênea y ' ' - 4 x y ' - 4 y = e x
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .1. y ' ' = x y
Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .4. y ' ' - x y ' + 2 y = 0