Enunciado

Nos problemas 11-16, resolva a equação de Ricatti dada; y 1 é uma solução conhecida para a equação.

15. d y d x = e 2 x + 1 + 2 e x y + y 2 ,   y 1 = - e x

Passo 1

Então pessoal, inicialmente precisamos responder: o que é uma equação de Ricatti? Esse tipo de equação apresenta o seguinte formato:

d y d x = P x + Q x y + R x y 2

Para resolve-la devemos fazer uma substituição, ok? Sabendo que y 1 é uma solução particular dessa equação, então as substituições abaixo são válidas, olha só:

y = y 1 + u

d y d x = d y 1 d x + d u d x

O objetivo aqui é fazer essas substituições para reduzir a equação à uma equação de Bernoulli, conforme discutimos em exercícios passados. Sim, a solução desse tipo de equação é longa, mas tendo atenção dá pra resolver com facilidade!

Passo 2

Nossa equação é a seguinte:

d y d x = e 2 x + 1 + 2 e x y + y 2

Sabendo que y 1 = - e x , então nossa substituição será:

y = - e x + u

Derivando, teremos:

d y d x = - e x + d u d x

Agora substituindo na nossa equação original, teremos:

- e x + d u d x = e 2 x + 1 + 2 e x - e x + u + - e x + u 2

Simplificando:

d u d x = e 2 x + e x - e x + u - 2 e 2 x + 2 e x u + e 2 x - 2 e x u + u 2

d u d x = u + u 2

d u d x - u = u ²

Conseguimos o que queríamos, que era encontrar uma equação diferencial de Bernoulli. Show!

Passo 3

Fazendo a substituição:

w = u 1 - n = u 1 - 2

w = u - 1 ⇒ u = w - 1

Derivando em relação a x , obteremos:

d u d x = - w - 2 . d w d x

Agora que já fizemos a substituição adequada e encontramos a derivada associada, vamos substituir os resultados na nossa equação diferencial original, que é:

d u d x - u = u 2

- w - 2 . d w d x - w - 1 = w - 2

Simplificando:

- d w d x - w = 1

d w d x + w = - 1

E então tiramos que:

P x = 1

Q x = - 1

Passo 4

Agora que encontramos P e Q vamos substituir na nossa solução geral:

w = e - ∫ P d x . ∫ e ∫ P d x . Q d x + c

w = e - ∫ 1 d x . - ∫ e ∫ 1 d x d x + c

Para a integral do expoente, teremos:

∫ d x = x

Substituindo na solução geral:

w = e - x . - ∫ e x d x + c

Agora precisamos resolver essa última integral que aparece aí na solução. Temos que:

∫ e x d x = e x

Substituindo na solução novamente:

w = e - x . - e x + c

∴ w = - 1 + c e x

Beleza! Resolvemos as integrais e simplificamos tudo.

Passo 5

O resultado que encontramos está como w x e queremos o resultado como u x , certo? Lá no passo 3 a substituição que fizemos foi:

w = u - 1 ⇒ u = w - 1

Voltando para a variável u , teremos:

u - 1 = - 1 + c e x

∴ u = - 1 + c e x - 1

E, finalmente, voltando para y , teremos:

y + e x = - 1 + c e x - 1

∴ y = - 1 + c e x - 1 - e x

E esse é nosso resultado! 😉

Resposta

y = - 1 + c e x - 1 - e x

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