Enunciado

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

19. y = x y ' + 1 - ln ⁡ y '

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

y = x y ' + 1 - ln ⁡ y '

Ou melhor:

y = x . d y d x + 1 - ln ⁡ d y d x

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x p + 1 - ln ⁡ p

Derivando isso, teremos:

d y d x = 1 . p + x . d p d x - d p d x p

d y d x = p + x . d p d x - d p d x . p - 1

Logo:

p = p + x . d p d x - d p d x . p - 1

Simplificando, teremos:

d p d x x - p - 1 = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x - p - 1 = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x p + 1 - ln ⁡ p

∴ y = x c + 1 - ln ⁡ c

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x = p - 1 y = x p + 1 - ln ⁡ p

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x . x - 1 + 1 - ln ⁡ x - 1

y = 1 + 1 + ln ⁡ x

∴ y = 2 + ln ⁡ x

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = x c + 1 - ln ⁡ c

Solução singular: y = 2 + ln ⁡ x

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