Enunciado

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

20. y = x y ' + y ' - 2

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

y = x y ' + y ' - 2

Ou melhor:

y = x . d y d x + d y d x - 2

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x . p + p - 2

Derivando isso, teremos:

d y d x = 1 . p + x . d p d x - 2 p - 3 . d p d x

d y d x = p + x . d p d x - 2 p - 3 . d p d x

Logo:

p = p + x . d p d x - 2 p - 3 . d p d x

Simplificando, teremos:

d p d x x - 2 p - 3 = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x - 2 p - 3 = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x . p + p - 2

∴ y = c x + 1 c 2

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x = 2 p - 3 y = x . p + p - 2

Da primeira equação tiramos:

p - 3 = x 2

∴ p = 2 x 1 3

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x . 2 x 1 3 + 2 x 1 3 - 2

∴ 4 y 3 = 27 x 2

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = c x + 1 c 2

Solução singular: 4 y 3 = 27 x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que 8 é uma solução para 7 . Sugestão: Derive ambos as lados de 7 com relação a x e considere dois casos. Use a diferenciação paramétrica para mostrar: d y d x = d y d t d x...
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.23. x y ' - y = e y '
Quando R x = - 1 , a equação de Ricatti pode ser escrita como y ' + y 2 - Q x y - P x = 0 . Mostre que a substituição y = w ' w conduz à equação linear de segunda ordem w ' ' - Q x...
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.21. y = x . d y d x - d y d x 3
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.19. y = x y ' + 1 - ln ⁡ y '
Mostre que, se y 1 for uma solução para 4 , então a substituição y = y 1 + u em 4 implica 5 .
Mostre que y = c x + f c , em que c é uma constante arbritrária, é uma solução para 7 .
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.22. y = x + 4 y ' + y ' 2
Mostre que 5 se reduz a 6 por meio da substituição w = u - 1 .
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.24. y - x y ' = ln ⁡ y '
28. Uma definição alternativa para a equação de Clairaut é qualquer equação na forma F y - x y ' ,   y ' = 0 .a) Mostre que uma família de soluções para a última equação é: F y - c...
Sem resolver, classifique cada uma das seguintes equações como: separável, homogênea, exata, linear, Bernoulii, Ricatti ou Clairaut.e) d y d x = y 2 + y x 2 + x f) d y d x = 4 + 5 ...