Enunciado

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

20. y = x y ' + y ' - 2

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

y = x y ' + y ' - 2

Ou melhor:

y = x . d y d x + d y d x - 2

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x . p + p - 2

Derivando isso, teremos:

d y d x = 1 . p + x . d p d x - 2 p - 3 . d p d x

d y d x = p + x . d p d x - 2 p - 3 . d p d x

Logo:

p = p + x . d p d x - 2 p - 3 . d p d x

Simplificando, teremos:

d p d x x - 2 p - 3 = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x - 2 p - 3 = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x . p + p - 2

∴ y = c x + 1 c 2

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x = 2 p - 3 y = x . p + p - 2

Da primeira equação tiramos:

p - 3 = x 2

∴ p = 2 x 1 3

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x . 2 x 1 3 + 2 x 1 3 - 2

∴ 4 y 3 = 27 x 2

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = c x + 1 c 2

Solução singular: 4 y 3 = 27 x 2

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que 8 é uma solução para 7 . Sugestão: Derive ambos as lados de
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma s
Quando R x = - 1 , a equação de Ricatti pode ser escrita como y ' + y
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma s
Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma s