Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

2 x y ' ' - 3 + 2 x y ' + y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

2 x y ' ' - 3 + 2 x y ' + y = 2 r 2 - 5 r c 0 x r - 1 + ∑ k = 1 ∞ 2 k + r - 1 k + r c k - 3 k + r c k - 2 k + r - 1 c k - 1 + c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r . ( 2 r - 5 ) = 0

k + r 2 k + 2 r - 5 c k - ( 2 k + 2 r - 3 ) c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 0 e r = 5 2

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 5 2

Usando r = 0 , temos

c k = ( 2 k - 3 ) c k - 1 k ( 2 k - 5 ) ,   k = 1,2 , 3 …

E então:

c 1 = 1 3 c 0

c 2 = - 1 6 c 0

c 3 = - 1 6 c 0

Enquanto para r = 5 2 temos:

c k = 2 ( k + 1 ) c k - 1 k ( 2 k + 5 ) ,   k = 1,2 , 3 …

Então:

c 1 = 4 7 c 0

c 2 = 4 21 c 0

c 3 = 32 693 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . 1 + 1 3 x - 1 6 x 2 - 1 6 x ³ + … + C 2 . x 5 2 1 + 4 7 x + 4 21 x 2 + 32 693 x ³ + …

Resposta

y = C 1 . 1 + 1 3 x - 1 6 x 2 - 1 6 x ³ + … + C 2 . x 5 2 1 + 4 7 x + 4 21 x 2 + 32 693 x ³ + …

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