Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

4 x y ' ' + 1 2 y ' + y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

4 x y ' ' + 1 2 y ' + y = 4 r 2 - 7 2 r c 0 x r - 1 + ∑ k = 2 ∞ 4 k + r - 1 k + r c k + 1 2 k + r c k + c k - 1 x k + r - 1 = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

4 r 2 - 7 2 r = 0 → r . 4 r - 7 2 = 0

1 2 k + r 8 k + 8 r - 7 c k + c k - 1 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = 7 8 e r = 0

(de tal forma que c 1 = 0 )

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = 0 e r = 7 8

Usando r = 0 , temos

c k = - 2 c k - 1 k 8 k - 7 ,   k = 1 , 2,3 …

E então:

c 1 = - 2 c 0

c 2 = 2 9 c 0

c 3 = - 4 459 c 0

Enquanto para r = 7 8 temos:

c k = - 2 c k - 1 k 8 k + 7 ,   k = 1,2 , 3 …

Então:

c 1 = - 2 15 c 0

c 2 = 2 345 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . 1 - 2 x + 2 9 x 2 - 4 459 x 3 + … + C 2 . x 7 8 1 - 2 15 x + 2 345 x 2 + …

Resposta

y = C 1 . 1 - 2 x + 2 9 x 2 - 4 459 x 3 + … + C 2 . x 7 8 1 - 2 15 x + 2 345 x 2 + …

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Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Se x = 0 é uma singularidade regular, use (12) em (2) para mostrar que (13) é a equação indicial obtida pelo método de Frobenius.
Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 3 y ' ' + y = 0
(a) Mostre que a equação diferencial x 2 y ' ' - 4 y = 0 tem uma singularidade no infinito. [Sugestão: Veja página 328.](b) Classifique o ponto singular no infinito como regular ou irregular.
Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 2 y ' ' - y ' + y = 0