Enunciado

Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular x 0 = 0 . Encontre a solução geral em ( 0 ,   ∞ ) .

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 4 9 y = 0

Passo 1

Salveee, vamos lá?

Vamos utilizar y = ∑ n = 0 ∞ c n x n + r na nossa equação diferencial:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 4 9 y = r 2 - 4 9 c 0 x r + r 2 + 2 r + 5 9 c 1 x r + 1 + ∑ k = 1 ∞ k + r - 1 k + r c k + k + r c k - 4 9 c k + c k - 2 x k + r = 0

Igualando os termos dos dois lados, temos

r + 2 3 . r - 2 3 = 0

r 2 + 2 r + 5 9 c 1 = 0

k + r 2 - 4 9 c k + c k - 2 = 0

Assim, as nossas raízes indiciais são r = ± 2 3

Passo 2

Temos as raízes indiciais r = - 2 3 e r = 2 3

Usando r = - 2 3 , temos

c k = - 9 c k - 2 3 k ( 3 k - 4 ) ,   k = 2,3 …

E então:

c 2 = - 3 4 c 0

c 3 = 0

c 4 = 9 128 c 0

Enquanto para r = 2 3 temos:

c k = 9 c k - 2 3 k ( 3 k + 4 ) ,   k = 2,3 …

Então:

c 2 = - 3 20 c 0

c 3 = 0

c 4 = 9 1280 c 0

Então, nossa solução geral é

y = C 1 . x - 2 3 1 - 3 4 x 2 + 9 128 x 4 + … + C 2 . x 2 3 1 - 3 2 0 x 2 + 9 1280 x 4 + …

Resposta

y = C 1 . x - 2 3 1 - 3 4 x 2 + 9 128 x 4 + … + C 2 . x 2 3 1 - 3 20 x 2 + 9 1280 x 4 + …

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