Enunciado

Nos problemas 11-30, resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

x 2 + x y - 3 y 2 d x - ( x 2 + 2 x y )   d y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Olha só, nesses casos a gente sempre faz uma substituição para transformar a equação em uma equação diferencial separável. Esse livro apresenta duas substituições possíveis: y = u x     e     x = v y .

Geralmente a gente usa a x = v y quando a parte M ( x , y ) (a que acompanha o d x ) é mais simples do que N   ( x , y ) , do contrário, usamos y = u x .

Olhando nossa equação...

x 2 + x y - 3 y 2 d x - ( x 2 + 2 x y )   d y = 0

Vemos que a parte N ( x , y ) é mais simples, então vamos usar a substituição y = u x .

Passo 2

Vamos lá, se y = u x , temos d y = u   d x + x   d u . Vamos substituir isso na nossa equação então...

x 2 + x y + 3 y 2 d x - ( x 2 + 2 x y )   d y = 0

x 2 + u x 2 + 3 u 2 x 2 d x - x 2 + 2 u x 2 u   d x + x   d u = 0

x 2 d x + u x 2 d x + 3 u 2 x 2 d x - u x 2 d x - x 3 d u - 2 u 2 x 2 d x - 2 u x 3 d u = 0

d x + 3 u 2 d x - x   d u - 2 u 2 d x - 2 u x   d u = 0

d x u 2 + 1 = x d u 1 + 2 u

d x x = 1 + 2 u u 2 + 1 d u

Temos uma EDO separável agora (que já está separada haha), só precisamos integrar os dois lados...

Passo 3

Integrando, ficamos com:

∫ d x x = ∫ 1 + 2 u u 2 + 1 d u

ln ⁡ | x | = a r c t g   u + ln ⁡ ( u 2 + 1 ) + C

Como y = u x , temos u = y x :

ln ⁡ | x | - a r c t g y x + ln ⁡ y 2 x 2 + 1 = C

E pronto! Equação resolvida😊

Resposta

ln ⁡ | x | - a r c t g y x + ln ⁡ y 2 x 2 + 1 = C

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