Enunciado

Nos problemas 25-30, resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.

3 y 2 - x ² y 5 d y d x   + x 2 y 4 = 0 ,     y 1 = 1

Passo 1

Nesses exercícios, vamos trabalhar com equações diferenciais exatas, mas antes de resolver, precisamos provar que cada uma delas é exata ok?

Vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Provando que a equação diferencial é exata

Vamos verificar se a equação 3 y 2 - x ² y 5 d y d x   + x 2 y 4 = 0 é exata

Primeiro vamos escrever no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , para isso, vamos multiplicar tudo por d x :

3 y 2 - x ² y 5 d y   + x 2 y 4 d x = 0

x 2 y 4 d x + 3 y 2 - x ² y 5 d y   = 0

Então, temos M x , y = x 2 y 4 e N x , y = 3 y 2 - x ² y 5

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ x 2 y 4   ∂ y

Derivando M em relação a y

∂ M ∂ y = - 2 x y 5

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ 3 y 2 - x ² y 5 ∂ x

∂ N ∂ x = - 2 x y 5

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = - 2 x y 5

Boaaa, provamos que a equação é exata, agora vamos lá resolver

Passo 4

Encontrando a solução genérica da equação diferencial exata

Temos

x 2 y 4 d x + 3 y 2 - x ² y 5 d y   = 0

Com M x , y = x 2 y 4 e N x , y = 3 y 2 - x ² y 5

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = x 2 y 4

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ x 2 y 4   d x + g y

Resolvendo a integral:

f = 1 2 y 4 . x 2 2 + g ( y )

f = x ² 4 y 4 + g ( y )

Passo 5

Temos

f = x ² 4 y 4 + g y   ( I )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = - x 2 y 5 + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 3 y 2 - x ² y 5 :

∂ f ∂ y = - x 2 y 5 + g ' y = 3 y 2 y 5 - x 2 y 5

Então:

g ' y = 3 y 2 y 5

g ' y = 3 y ³

Integrando em relação a y :

g y = - 3 2 y ²   ( I I )

Substituindo ( I I ) em ( I ) :

f = x 2 4 y 4 - 3 2 y ²

A solução genérica da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x 2 4 y 4 - 3 2 y ² = c

Masss, ainda falta aplicarmos o problema do valor inicial nessa solução genérica, vamos lá

Passo 6

Resolvendo o problema de valor inicial

A solução genérica da nossa equação diferencial é

x 2 4 y 4 - 3 2 y ² = c

Onde c é uma constante

Mas temos que y 1 = 1 , então podemos descobrir o valor de c para encontrarmos uma solução única

Substituindo x = 1 e y = 1 :

1 2 4 . 1 4 - 3 2 . 1 ² = c

c = 1 4 - 3 2

c = - 5 4

Então, a solução da nossa equação diferencial com o problema de valor inicial dado é:

x 2 4 y 4 - 3 2 y ² = - 5 4

Resposta

x 2 4 y 4 - 3 2 y ² = - 5 4

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução. 2 x + 4 y + 2 x - 2 y y ' = 0
Em cada um dos problemas 15 e 16, encontre o valor de b para qual a equação dada é exata e depois a resolva usando esse valor de b . x y 2 + b x 2 y + x + y x 2 y ' = 0
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução y e x y cos ⁡ 2 x - 2 e x y s e n2 x + 2 x + x e x y cos ⁡ 2 x - 3 y ' = 0
Em cada um dos problemas 13 e 14, resolva o problema de valor inicial dado e determine, pelo menos aproximadamente, onde a solução é válida 2 x - y + 2 y - x y ' = 0 , y 1 = 3
Determine se cada uma das equações nos problemas de 1 a 12 é exata. Se for, encontre a solução e xs e ny - 2 ys e nx + e x cos ⁡ y + 2 cos ⁡ x y ' = 0