Enunciado

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .

x 2 + 2 y ' ' + 3 x y ' - y = 0

Passo 1

Salve salveeee, vamos lá!

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO, mas isso tem que ser em torno do ponto ordinário x = 0 , certo?

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

x 2 + 2 y ' ' + 3 x y ' - y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n + 2 ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 + 3 ∑ n = 0 ∞ n . c n . x n - ∑ n = 0 ∞ c n . x n

Para a primeira somatória, usando as técnicas que vimos na seção anterior, temos k = n , na segunda somatória temos k = n - 2 , na terceira somatória temos k = n e na quarta somatória temos k = n Então isso vai ficar assim olha:

x 2 + 2 y ' ' + 3 x y ' - y = ∑ k = 2 ∞ k . k - 1 . c k . x k + 2 ∑ n = 2 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k + 3 ∑ k = 1 ∞ k c k . x k - ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Agora vamos lá desenvolver isso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

x 2 + 2 y ' ' + 3 x y ' - y = ∑ k = 2 ∞ k . k - 1 . c k . x k + 2 ∑ n = 2 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k + 3 ∑ k = 1 ∞ k c k . x k - ∑ k = 0 ∞ c k . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo essas somatórias, temos

x 2 + 2 y ' ' + 3 x y ' - y = ∑ k = 2 ∞ 2 k + 2 k + 1 . c k + 2 + k 2 + 2 k - 1 c k x k + 4 c 2 - c 0 + 12 c 3 + 2 c 1 x

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

4 c 2 - c 0 = 0

12 c 3 + 2 c 1 = 0

2 k + 2 k + 1 . c k + 2 + k 2 + 2 k - 1 c k = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = 1 4 c 0

E:

c 3 = - 1 6 c 1

Além disso, da terceira igualdade temos:

c k + 2 = - k 2 + 2 k - 1 2 k + 2 k + 1 c k ,   k = 2,3 , 4,5 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = 1 4 c 0

c 3 = - 1 6 c 1

c k + 2 = - k 2 + 2 k - 1 2 k + 2 k + 1 c k ,   k = 2,3 , 4,5 …

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos:

c 2 = 1 4

c 3 = c 5 = c 7 = … = 0

c 4 = - 7 96

Então já temos uma solução, que é

y 1 = 1 + 1 4 x 2 - 7 96 x 4 + …

Agora vamos fazer c 0 = 0 e c 1 = 1 , aí temos:

c 2 = c 4 = c 6 = … = 0

c 3 = - 1 6

c 5 = 7 120

O que nos dá a segunda solução:

y 2 = x - 1 6 x 3 + 7 120 x 5 + …

Ufaaa, e fim!!

Resposta

y 1 = 1 + 1 4 x 2 - 7 96 x 4 + …

y 2 = x - 1 6 x 3 + 7 120 x 5 + …

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Nos problemas 15-18, use o método de série de potências para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas x - 1 y ' ' - x y ' + y = 0 y 0 = - 2 y ' 0 = 6
Nos problemas 15-18, use o método de série de potências para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas x 2 + 1 y ' ' + 2 x y ' = 0 y 0 = 0 y ' 0 = 1