Enunciado

Nos problemas 1-14, para cada equação diferencial, encontre duas soluções em série de potências linearmente independentes em torno do ponto ordinário x = 0 .

y ' ' - x y ' - x + 2 y = 0

Passo 1

Salve salveeee, vamos lá!

Temos que encontrar as soluções em séries de potências da nossa EDO, mas isso tem que ser em torno do ponto ordinário x = 0 , certo?

Pra começar, vamos substituir nossa equação diferencial em y = ∑ n = 0 ∞ c n . x n , isso nos dá:

y ' ' - x y ' - x + 2 y = ∑ n = 2 ∞ n . n - 1 . c n . x n - 2 - ∑ n = 1 ∞ n . c n . x n - ∑ n = 0 ∞ c n . x n + 1 - ∑ n = 0 ∞ 2 c n . x n

Para a primeira somatória, usando as técnicas que vimos na seção anterior, temos k = n - 2 , na segunda somatória temos k = n , na terceira somatória temos k = n + 1 e na quarta somatória temos k = n Então isso vai ficar assim olha:

y ' ' - x y ' - x + 2 y = ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ k . c k . x k - ∑ k = 1 ∞ c k - 1 . x k - ∑ k = 0 ∞ 2 c k . x k

Agora vamos lá desenvolver isso aí

Passo 2

Onde paramos mesmo?

y ' ' - x y ' - x + 2 y = ∑ k = 0 ∞ ( k + 2 ) . k + 1 . c k + 2 . x k - ∑ k = 1 ∞ k . c k . x k - ∑ k = 1 ∞ c k - 1 . x k - ∑ k = 0 ∞ 2 c k . x k

Aee, beleza

Olha lá, desenvolvendo essas somatórias, temos

y ' ' - x y ' - x + 2 y = ∑ k = 1 ∞ k + 2 k + 1 . c k + 2 x k - k + 2 . c k - c k - 1 x k + 2 c 2 - 2 c 0

Gente do céu que monstrinho é esse

Vamos organizar isso aí

Agora é o seguinte: a gente vai comparar os dois lados da igualdade e igualar os termos que formam grupinhos, ou seja, que multiplicam o mesmo termo, isso vai nos dar:

2 c 2 - 2 c 0 = 0

k + 2 k + 1 . c k + 2 x k - k + 2 . c k - c k - 1 = 0

Belezinha, então, a gente pode dizer que:

c 2 = c 0

E também:

c k + 2 = c k k + 1 + c k - 1 ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k ,   k = 1,2 , 3 …

Agora vamos escolher valores de constantes beleza?

Passo 3

Temos:

c 2 = c 0

c k + 2 = c k k + 1 + c k - 1 ( k + 2 ) ( k + 1 ) c k ,   k = 1,2 , 3 …

Fazendo c 0 = 1 e c 1 = 0 , temos:

c 2 = 1

c 3 = 1 6

c 4 = 1 3

Então já temos uma solução, que é

y 1 = 1 + x 2 + 1 6 x 3 + 1 3 x 4 + …

Agora vamos fazer c 0 = 0 e c 1 = 1 , aí temos:

c 2 = 0

c 3 = 1 2

c 4 = 1 12

O que nos dá a segunda solução:

y 2 = x + 1 2 x 3 + 1 12 x 4 + …

Ufaaa, e fim!!

Resposta

y 1 = 1 + x 2 + 1 6 x 3 + 1 3 x 4 + …

y 2 = x + 1 2 x 3 + 1 12 x 4 + …

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