Enunciado

17. Uma outra mola de constante elástica 20 N m é suspensa no mesmo suporte rígido, mas paralela ao sistema massa mola do problema 16. Uma massa de 20   k g é atada à segunda mola e ambas são soltas a partir da posição de equilíbrio com uma velocidade de 10 m s para cima.

a) Qual massa apresenta maior amplitude de movimento?

b) Qual massa está se movendo mais rápido em t = π 4 ? E em t = π 2 ?

c) Quando as duas massas estão na mesma posição? Onde elas estão nesse instante? Em qual direção elas estão se movendo?

Passo 1

a) Então galera, assim como vimos na seção em questão a equação diferencial que decreve um movimento harmônico simples ou um movimento livre sem amortecimento, é a seguinte:

m d 2 x d t 2 + k x = 0

O que precisamos fazer aqui é escrever uma equação diferencial com os dados cedidos pelo enunciado. A questão diz que k = 20 N m e m = 20 k g , logo:

20 x ' ' + 20 x = 0

x ' ' + x = 0

Resolvendo essa equação, teremos:

x 2 + 1 = 0

O que nos dá:

x 1 = i

x 2 = - i

Como as raízes são complexas, então nossa solução será do tipo:

x = c 1 cos ⁡ b t + c 2 s e n   b t

No qual b é a constante que acompanha i . Sendo assim, temos que nossa solução geral será:

x t = c 1 cos ⁡ t + c 2 s e n   t

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Passo 2

O que precisamos fazer agora é encontrar as constantes c 1 e c 2 , galera! Para isso precisamos de condições iniciais, certo? De acordo com o enunciado tiramos que:

x 0 = 0

x ' 0 = - 10

Aplicando a primeira condição, teremos:

0 = c 1 cos ⁡ 0 + c 2 s e n   0

c 1 = 0

Agora aplicando a segunda condição, teremos:

x ' t = - c 1 s e n   t + c 2 cos ⁡ t

- 10 = - c 1 s e n   0 + c 2 cos ⁡ 0

c 2 = - 10

Logo a equação do movimento será:

x t = - 10 s e n   t

Comparando com a amplitude da questão 16 , teremos:

Q .   16 → A m p l i t u d e = 5

Q .   17 → A m p l i t u d e = 10

Então a massa de 20 k g apresenta maior amplitude!

Passo 3

b) Para a massa de 20 k g , teremos:

x ' π 4 = - 20 . cos ⁡ π 4 = - 5 2 m s

x ' π 2 = - 20 . cos ⁡ π 2 = 0 m s

Para a massa de 50 k g , teremos:

x ' π 4 = - 10 . cos ⁡ 2 . π 4 = 0 m s

x ' π 2 = - 10 . cos ⁡ 2 . π 2 = 10 m s

Passo 4

c) As duas massas estão na mesma posição quando as posições são iguais, certo? Sendo assim:

- 5 s e n   2 t = - 10 s e n   t

2 s e n   t cos ⁡ t - 1 = 0

t = n π

A massa de 50 k g está movendo para cima e a massa de 20 k g está movendo para baixo quando t é par e movendo para cima quando t é ímpar.

Resposta

Todas as respostas estão nos passos acima.

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