Enunciado

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes).

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0 ;     y = x 2 e x

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, a gente quer saber se     y = x 2 e x   é solução da equação y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0 . Para saber isso, a gente tem que substituir os termos da equação e ver se temos uma igualdade verdadeira.

Já temos y , vamos descobrir quem é y ' , y ' ' e   y ' ' ' . Vamos derivar então! Vamos lá...

Passo 2

y = x 2 e x

Derivando...

y ' = 2 x e x + x 2 e x

Derivando de novo, temos:

y ' ' =   2 e x + 2 x e x + 2 x e x + x 2 e x

y ' ' = 2 e x + 4 x e x + x 2 e x

E de novo...

y ' ' ' =   2 e x + 4 e x + 4 x e x + 2 x e x + x 2 e x

y ' ' ' = 6 e x + 6 x e x + x 2 e x

Show! Agora a gente vai substituir isso na equação...

Passo 3

Vamos substituir na equação agora...

y ' ' ' - 3 y ' ' + 3 y ' - y = 0

6 e x + 6 x e x + x 2 e x - 3 2 e x + 4 x e x + x 2 e x + 3 2 x e x + x 2 e x - x 2 e x = 0

6 e x + 6 x e x + x 2 e x - 6 e x - 12 x e x - 3 x 2 e x + 6 x e x + 3 x 2 e x - x 2 e x = 0

0 = 0

Prontinho! Encontramos uma igualdade verdadeira, então a função é solução! 😉

Resposta

É solução.

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