Enunciado

Nos problemas 17-20, verifique se o Teorema 2.1 garante unicidade de solução para a equação diferencial y ' = y 2 - 9 , passando pelo ponto dado.

( - 1,1 )

Passo 1

Aqui vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação d y d x = y 2 - 9

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = y 2 - 9

E, nesse caso, usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ y = 2 y . 1 2 y 2 - 9

∂ f ∂ y = y y 2 - 9

Que não está definida para os valores de y que fazem y 2 - 9 ≤ 0 , pois não podemos ter raíz negativa e nem o denominador igual a 0, certo?

Então:

y 2 - 9 ≤ 0

y 2 ≤ 9

- 3 ≤ y ≤ 3

A equação diferencial não está definida para valores de y entre - 3 e 3

Então, pelo teorema 2.1, temos que a equação diferencial d y d x = y 2 - 9

Vai ter solução única em regiões onde y < - 3 e y > 3

Agora vamos aplicar isso no nosso exercício!

Passo 2

Queremos saber se a equação diferencial d y d x = y 2 - 9 tem solução única passando pelo ponto ( - 1,1 )

Vimos no passo 1 que essa equação vai ter solução única em regiões onde y < - 3 e y > 3

Como no ponto ( - 1,1 ) temos y = 1 , e - 3 < 1 < 3 , então ela não tem solução única passando por esse ponto, sacou?

Resposta

N ã o   t e m   s o l u ç ã o   ú n i c a   p a s s a n d o   p o r   ( - 1,1 )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' = 2 y ; y = x | x |
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). 2 x yd x + x 2 + 2 y d y = 0 ; x 2 y + y 2 = c 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). x 2 d y + 2 x yd x = 0 ; y = - 1 x 2
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). y ' - 1 x y = 1 ; y = x ln ⁡ x , x0
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 ec 2 são constantes). d P d t = P a - b P ; P = a c 1 e a t 1 + b c 1 e a t