Enunciado

Nos problemas 17-20, verifique se o Teorema 2.1 garante unicidade de solução para a equação diferencial y ' = y 2 - 9 , passando pelo ponto dado.

( - 1,1 )

Passo 1

Aqui vamos usar o teorema 2.1 do seu livro, belezinha?

Então vamos lá, temos que determinar uma região no plano x y no qual a equação d y d x = y 2 - 9

tem solução única passando por um ponto x 0 , y 0

Seguindo o teorema 2.1, vamos chamar

f x , y = y 2 - 9

E, nesse caso, usando a regra da cadeia:

∂ f ∂ y = 2 y . 1 2 y 2 - 9

∂ f ∂ y = y y 2 - 9

Que não está definida para os valores de y que fazem y 2 - 9 ≤ 0 , pois não podemos ter raíz negativa e nem o denominador igual a 0, certo?

Então:

y 2 - 9 ≤ 0

y 2 ≤ 9

- 3 ≤ y ≤ 3

A equação diferencial não está definida para valores de y entre - 3 e 3

Então, pelo teorema 2.1, temos que a equação diferencial d y d x = y 2 - 9

Vai ter solução única em regiões onde y < - 3 e y > 3

Agora vamos aplicar isso no nosso exercício!

Passo 2

Queremos saber se a equação diferencial d y d x = y 2 - 9 tem solução única passando pelo ponto ( - 1,1 )

Vimos no passo 1 que essa equação vai ter solução única em regiões onde y < - 3 e y > 3

Como no ponto ( - 1,1 ) temos y = 1 , e - 3 < 1 < 3 , então ela não tem solução única passando por esse ponto, sacou?

Resposta

N ã o   t e m   s o l u ç ã o   ú n i c a   p a s s a n d o   p o r   ( - 1,1 )

Exercícios de Livros Relacionados

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Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). x 2 y ' ' - x y ' + 2 y = 0 ;     y = x cos ⁡ ln ⁡ x ,     ...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' ' + y ' - 12 y = 0 ;     y = c 1 e 3 x + c 2 e - 4 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' ' - 6 y ' + 13 y = 0 ;     y = e 3 x cos ⁡ 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). d y d x - 2 y = e 3 x ;     y = e 3 x + 10 e 2 x
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' + y = sen ⁡ x ;     y = 1 2 sen ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x + 10 ...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y = 2 x y ' + y y ' 2 ;     y 2 = c 1 x + 1 4 c 1
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). d y d x = y x ;       y = x + c 1 2 ,   x > 0 ,   c 1 &g...
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' + 4 y = 32 ;   y = 8
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). y ' = 25 + y 2 ;     y = 5 tg ⁡ 5 x
Verifique se a função definida por partes é uma solução para a equação diferencial dada: y ' 2 = 9 x y ;       y = 0 ,     s e     x < 0   x 3 ,                   s e   x ≥ 0
Nos problemas 11-40, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c 1 e   c 2 são constantes). 2 x y   d x + x 2 + 2 y d y = 0 ;     x 2 y + y 2 = c 1