Enunciado

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .

6. f t = 0 ,   0 ≤ t < π 2 cos ⁡ t ,   t ≥ π 2

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = 0 ,   0 ≤ t < π 2 cos ⁡ t ,   t ≥ π 2

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 π 2 e - s t 0 d t + ∫ π 2 ∞ e - s t cos ⁡ t d t

L f t = ∫ π 2 ∞ cos ⁡ t . e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ π 2 ∞ cos ⁡ t . e - s t d t = - s s 2 + 1 e - s t . cos ⁡ t + 1 s 2 + 1 e - s t . s e n   t ∞ π 2

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = 0 - 0 + 1 s 2 + 1 e - π s 2

∴ L f t = - 1 s 2 + 1 e - π s 2

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = - 1 s 2 + 1 e - π s 2

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