Enunciado

Nos problemas 1-18, use a definição 7.1 para calcular L f t .

5. f t = s e n   t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

Passo 1

Então galera, para resolvermos os problemas 1-18 temos que lembrar da definição 7.1, assim como o enunciado sugere. Essa definição nos diz o seguinte:

L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f t d t

Quando temos apenas uma função definida, obviamente teremos que resolver apenas uma integral, mas quando temos uma função definida a partir de dois ou mais intervalos, teremos que escrever duas ou mais integrais. Prometo que só PARECE complicado, pessoal!

Vamo que vamo por a ideia em prática!

Passo 2

A função f t que nos foi dada é essa aqui ó:

f t = s e n   t ,   0 ≤ t < π 0 ,   t ≥ π

Aplicando a definição do passo 1, teremos:

L f t = ∫ 0 π e - s t s e n   t d t + ∫ π ∞ e - s t 0 d t

L f t = ∫ 0 π s e n   t . e - s t d t

E agora o que precisamos fazer é apenas resolver essas integrais, então bora lá!

Passo 3

Resolvendo essas integrais, teremos:

L f t = ∫ 0 π s e n   t . e - s t d t = - s s 2 + 1 e - s t . s e n   t - 1 s 2 + 1 e - s t . cos ⁡ t π 0

Aplicando o intervalo de integração, teremos:

L f t = 0 + 1 s 2 + 1 e - π s - 0 - 1 s 2 + 1

∴ L f t = 1 s 2 + 1 e - π s + 1

E está aí nossa Lagrangeana, galeris! 😊

Resposta

L f t = 1 s 2 + 1 e - π s + 1

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .2. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 1 a 4 , esboce o gráfico da função dada. Em cada caso, determine se f é continua, seccionalmente contínua, ou nenhuma das duas no intervalo 0 ≤ t ≤ 3 .3. f t = t 2 , 0 ≤ t
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.24. f t = t , 0 ≤ t1 2 - t , 1 ≤ t2 0 , 2 ≤ t∞
Em cada um dos problemas de 21 a 24, encontre a transformada de Laplace da função dada.23. f t = t , 0 ≤ t1 1 ,1 ≤ t∞
Lembre que c o s h b t = ( e b t + e - b t ) / 2 e que s e n h b t = ( e b t - e - b t ) / 2 . Em cada um dos problemas de 7 a 10 encontre a transformada de Laplace da função dada; a e b são constante