Enunciado

Suponha que f e f ' são contínuas em t ≥ 0 de ordem exponencial quando t → ∞ . Integrando por partes, mostre que, se F s = L [ f t ] , então lim s → ∞ ⁡ F s = 0 . O resultado continua valido sob condições menos restritivas, como as do Teorema 6.1.2.

Passo 1

Bom, vamos começar aplicando a transformada de Laplace na função dada:

F s = L f t = ∫ 0 ∞ e - s t f ( t ) d t

Como se trata de uma integral imprópria:

F s = L f t = lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t f ( t ) d t

Passo 2

Aplicamos a integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Chamamos f ( t ) de u e e - s t de d v , vai ficar assim:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t f ( t ) d t = lim A → ∞ ⁡ - 1 s e - s t f ( t ) A 0 + 1 s ∫ 0 A e - s t f ' ( t ) d t

Como a função f ( t ) e a sua derivada se comportam exponencialmente quando t → ∞ , ao substituirmos limites de integração no termo do meio, ficamos com:

lim A → ∞ ⁡ - 1 s e - s A e k A + 1 s f 0

O que fizemos foi substituir A em f ( t ) , ela se transforma numa exponencial com uma constante arbitraria k que determina o sinal e o quanto a função cresce à medida que t cresce. Mas para o limite 0 não podemos afirmar isso porque o enunciado não disse nada

Para que o limite exista, precisamos impor uma condição nas exponencias, se resolvermos o produto, ficamos com:

lim A → ∞ ⁡ 1 s [ e ( k - s ) A - e - s 0 f 0 ]

Como dá para ver, precisamos que a exponencial vá a zero quando A → ∞ , caso contrário ela explode no infinito e a integral diverge, então:

k - s < 0

k < s

Essa é nossa condição. Isso faz com que o primeiro termo tenda para zero, mas e o segundo termo?

1 s lim A → ∞ ⁡ e - s 0 f 0

Nesse caso, como não tem A dentro do limite, ele some, mantendo o que está dentro, e como a exponencial possui zero no expoente, ela é 1, assim:

1 s lim A → ∞ ⁡ e - s 0 f 0 = f 0 s

E o resultado então fica:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A e - s t f ( t ) d t = f 0 s + lim A → ∞ ⁡ 1 s ∫ 0 A e - s t f ' ( t ) d t

Passo 3

Agora aplicamos o limite que o enunciado pede na função F ( s ) :

lim s → ∞ ⁡ F ( s ) = lim s → ∞ ⁡ f 0 s + lim A → ∞ ⁡ 1 s ∫ 0 A e - s t f ' ( t ) d t

Podemos colocar o limite sobre cada termo, e como a integral do segundo não depende de s , só de t podemos colocar ele para dentro da integral:

lim s → ∞ ⁡ F ( s ) = lim s → ∞ ⁡ f 0 s + lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A lim s → ∞ ⁡ 1 s e - s t f ' ( t ) d t

Podemos ver que o primeiro termo tende a zero, e o conteúdo da integral também irá, porque sabemos que f ' ( t ) se comporta exponencialmente no infinito, caso não soubéssemos como f ' ( t ) cresce na reta real, não poderíamos aplicar esse limite diretamente.

Assim:

lim s → ∞ ⁡ F ( s ) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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