Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

2 x - y d x - x + 6 y d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Passo 2

Na nossa temos:

∂ M ∂ y = - 1

∂ N ∂ x = - 1

A equação então é exata! Vamos resolver...

Passo 3

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ 2 x - y d x

x 2 - y x + g y               ( * )

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

- x + g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

- x - 6 y = - x + g ' ( y )

g ' y = - 6 y

Vamos integrar isso agora para descobrir quem é g ( y ) :

∫ - 6 y   d y = - 3 y 2 = g ( y )

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 4

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , vamos substituir lá em ( * ) e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

x 2 - y x + g y              

x 2 - y x - 3 y 2 = c

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução: x 2 - y x - 3 y 2 = c

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