Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

y 3 - y 2 sin ⁡ x - x d x + 3 x y 2 + 2 y cos ⁡ x   d y = 0

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, para que uma equação seja exata, precisamos que:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Vamos ver isso na nossa então. Lembrando que M é a parte que acompanha o d x e N o que acompanha o d y .

Mas lembre-se que a nossa equação tem que estar igualada a zero, então vai ficar assim:

y 3 - y 2 sin ⁡ x - x d x + 3 x y 2 + 2 y cos ⁡ x   d y = 0

Passo 2

Seguindo o esquema de resolver equações exatas, a primeira coisa que a gente faz é integrar M ( x , y ) em relação a x . Então bora!

∫ y 3 - y 2 sin ⁡ x - x d x = y 3 x + y 2 cos ⁡ x - x 2 2 + g y

(Não pode esquecer de somar essa função de y aí hein!)

Beleza, agora a gente vai derivar isso em relação a y :

3 y 2 x + 2 y cos ⁡ x +   g ' ( y )

E agora a gente compara isso com N ( x , y ) :

3 x y 2 + 2 y cos ⁡ x = 3 y 2 x + 2 y cos ⁡ x +   g ' ( y )

g ' y = 0

Vamos integrar isso agora para descobrir quem é g ( y ) :

∫ 0   d y =   C

(a constante a gente vai colocar ali no final)

Passo 3

Beleza, agora já encontramos g ( y ) , e escrever da forma certinha, igualando a uma constante:

y 3 x + y 2 cos ⁡ x - x 2 2 + C = 0

E assim chegamos à solução da equação!

Resposta

É exata.

Solução: y 3 x + y 2 cos ⁡ x - x 2 2 + C = 0

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