Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3 d x + ( 2 y - 5 ) d y = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação 3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3 d x + ( 2 y - 5 ) d y = 0 é exata

Ela já está escrita no formato M x , y d x + N x , y d y = 0

Então, temos M x , y = 3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3 e N x , y = 2 y - 5

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ 3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3   ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 0

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( 2 y - 5 ) ∂ x

∂ N ∂ x = 0

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 0

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3 d x + ( 2 y - 5 ) d y = 0

Com M x , y = 3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3 e N x , y = 2 y - 5

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = 3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ 3 x . cos ⁡ 3 x + s e n 3 x - 3   d x + g ( y )

f = 3 ∫ x . cos ⁡ 3 x   d x + ∫ s e n 3 x d x - ∫ 3 d x + g y   ( I )

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente:

Em ∫ x . cos ⁡ 3 x   d x , vamos utilizar integral por partes com u = x e d v = c o s ⁡ ( 3 x ) , e então, temos d u = 1 e v = s e n 3 x 3

∫ u   d v = u . v - ∫ v   d u

∫ x . cos ⁡ 3 x   d x = x . s e n 3 x 3 - ∫ s e n 3 x 3 d x

∫ x . cos ⁡ 3 x   d x = x . s e n 3 x 3 - 1 3 ∫ s e n 3 x   d x

Fazendo substituição simples na integral: u = 3 x → d u = 3 d x

∫ x . cos ⁡ 3 x   d x = x . s e n 3 x 3 - 1 3 . 1 3 ∫ s e n u   d u

∫ x . cos ⁡ 3 x   d x = x . s e n 3 x 3 - 1 9 ( - cos ⁡ u )

Voltando para a variável x ( u = 3 x ) :

∫ x . cos ⁡ 3 x   d x = x . s e n 3 x 3 + ( cos ⁡ 3 x ) 9 + C     ( I I )

A segunda integral é ∫ s e n 3 x d x , mas acabamos de resolver essa integral no item anterior hehehe então:

∫ s e n 3 x d x = - cos ⁡ 3 x 3 + C   ( I I I )

E a terceira integral:

∫ 3 d x = 3 x + C   ( I V )

Agora é só substituir os resultados das integrais na expressão ( I )

Passo 6

Temos

f = 3 ∫ x . cos ⁡ 3 x   d x + ∫ s e n 3 x d x - ∫ 3 d x + g y   ( I )

Substituindo I I ,   ( I I I ) e ( I V ) em ( I ) :

f = 3 x . s e n 3 x 3 + cos ⁡ 3 x 9 + - cos ⁡ 3 x 3 - 3 x + g y     ( V )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 0 + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = 2 y - 5 :

∂ f ∂ y = g ' y = 2 y - 5

Integrando em relação a y :

g y = y 2 - 5 y   ( V I )

Substituindo ( V I ) em ( V ) :

f = 3 x . s e n 3 x 3 + cos ⁡ 3 x 9 + - cos ⁡ 3 x 3 - 3 x + y 2 - 5 y

f = x . s e n ( 3 x ) + cos ⁡ 3 x 3 - cos ⁡ 3 x 3 - 3 x + y 2 - 5 y

f = x . s e n ( 3 x ) - 3 x + y 2 - 5 y

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

x . s e n ( 3 x ) - 3 x + y 2 - 5 y   = c

Resposta

É   e x a t a

x . s e n ( 3 x ) - 3 x + y 2 - 5 y   = c

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