Enunciado

Nos problemas 19-24, resolva a equação de Clairaut dada. Obtenha uma solução singular.

21. y = x . d y d x - d y d x 3

Passo 1

Então galera, o que é uma equação de Clairaut para começo de conversa? Uma equação diferencial desse tipo tem o seguinte formato;

y = x y ' + f y '

Ou, na notação de Leibniz:

y = x . d y d x + f d y d x

Assim a variável fica explícita. O que vamos fazer quando tivermos uma equação de Clairaut é uma substituição do tipo:

p = d y d x

E aí todo o resto vai se desenrolar! Vamos ver como isso funciona na prática. Vem comigo!

Passo 2

Nossa equação é:

y = x . d y d x - d y d x 3

Fazendo p = d y d x , teremos:

y = x . p - p 3

Derivando isso, teremos:

d y d x = 1 . p + x . d p d x - 3 p 2 . d p d x

d y d x = p + d p d x x - 3 p 2

Logo:

p = p + d p d x x - 3 p 2

d p d x x - 3 p 2 = 0

Show!

Passo 3

Note que chegamos em um produto interessante! Temos duas possibilidades:

d p d x = 0

Ou:

x - 3 p 2 = 0

Para a primeira possibilidade, teremos:

p = ∫ 0 d x

p = c

Sendo assim, nossa solução geral será:

y = x . p - p 3

∴ y = c x - c 3

Perfeito!

Passo 4

A princípio nosso problema foi resolvido, não é mesmo? No entanto ainda temos a segunda possibilidade. Sendo assim, teremos:

x = 3 p 2 y = x . p - p 3

Substituindo a primeira equação na segunda, teremos:

y = x . x 3 1 2 - x 3 3 2

y = x 3 1 2 3 x - x 3

y 2 = x 3 . 1 9 2 x 2

27 y 2 = x . 4 x 2

∴ 27 y 2 = 4 x 3

E essa é a solução singular que o enunciado pede!

Resposta

Solução geral: y = c x - c 3

Solução singular: 27 y 2 = 4 x 3

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