Enunciado

Nos problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.

x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 d x d y + x 3 y 2 = 0

Passo 1

Pra começar, vamos lembrar a definição de equação exata:

Temos que

M x , y d x + N x , y d y = 0

É uma equação exata se a expressão M x , y d x + N x , y d y for uma diferencial exata, ou seja, se:

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Passo 2

Vamos verificar se a equação x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 d x d y + x 3 y 2 = 0 é exata

O primeiro passo é escrevermos ela no formato M x , y d x + N x , y d y = 0 , e pra isso, vamos multiplicar tudo por d y :

x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 d x d y d y + x 3 y 2 d y = 0

x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 d x + x 3 y 2 d y = 0

Então, temos M ( x , y ) = x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 e N ( x , y ) = x 3 y 2

Agora precisamos usar aquela definição que vimos no passo 1, vamos lá

Passo 3

Pra comprovarmos aquilo do passo 1, vamos verificar se ∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x

Temos:

∂ M ∂ y = ∂ x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 ∂ y

Derivando M em relação a y :

∂ M ∂ y = 3 x ² y ²

Agora pro ∂ N ∂ x :

∂ N ∂ x = ∂ ( x 3 y 2 ) ∂ x

∂ N ∂ x = 3 x ² y ²

Então, temos

∂ M ∂ y = ∂ N ∂ x = 3 x ² y ²

Logo, nossa equação é exata ;) agora bora resolver

Passo 4

Temos

x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 d x + x 3 y 2 d y = 0

Com M ( x , y ) = x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2 e N ( x , y ) = x 3 y 2

Para resolver, vamos supor

∂ f ∂ x = M ( x , y )

∂ f ∂ x = x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2

Agora vamos integrar em relação a x , aí conseguimos encontrar o f

Vamos também acrescentar um g ( y ) que vai ser a constante de integração

f = ∫ x 2 y 3 - 1 1 + 9 x 2   d x + g ( y )

f = ∫ x 2 y 3   d x - ∫ 1 1 + 9 x 2 d x + g y     ( I )

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente

Em ∫ x 2 y 3   d x , vamos usar as regrinhas fundamentais de integração, lembrando que y ³ é uma constante:

∫ x 2 y 3   d x = y ³ ∫ x 2 d x

∫ x 2 y 3   d x = y 3 x 3 3 + C     ( I I )

Agora a segunda integral: ∫ 1 1 + 9 x 2 d x

Vamos fazer uma mudança de variável assim: x = 1 3 u , então d x = 1 3 d u

Assim:

∫ 1 1 + 9 x 2 d x = ∫ 1 1 + 9 u 3 2 1 3 d u

Como 1 3 é constante, vamos mandar pra fora:

∫ 1 1 + 9 x 2 d x = 1 3 ∫ 1 1 + 9 u 2 9 d u

∫ 1 1 + 9 x 2 d x = 1 3 ∫ 1 1 + u ² d u

Temos que ∫ 1 1 + x ² d x = arctan ⁡ x :

∫ 1 1 + 9 x 2 d x = 1 3 . arctan ⁡ ( u ) + C

Voltando para a variável x x = u 3 → u = 3 x :

∫ 1 1 + 9 x 2 d x = 1 3 . arctan ⁡ ( 3 x ) + C     ( I I I )

Ufa, resolvemos as duas integrais, agora é só substituir lá na expressão ( I )

Passo 6

Temos

f = ∫ x 2 y 3   d x - ∫ 1 1 + 9 x 2 d x + g y     ( I )

Substituindo ( I I ) e ( I I I ) em ( I )

f = y 3 x 3 3 - 1 3 . arctan ⁡ ( 3 x ) + g y     ( I V )

Agora vamos derivar f em relação a y e igualar isso a N ( x , y )

∂ f ∂ y = 3 y 2 x 3 3 + g ' ( y ) = N ( x , y )

∂ f ∂ y = y ² x ³ + g ' ( y ) = N ( x , y )

Como N x , y = x 3 y 2 :

∂ f ∂ y = y ² x ³ + g ' ( y ) = x 3 y 2

Então:

g ' y = x 3 y 2 - x ³ y ²

g ' y = 0

Então: g y = C   ( V )

Substituindo ( V ) em ( I V ) :

f = y 3 x 3 3 - 1 3 . arctan ⁡ 3 x + C

A solução da equação diferencial exata é f x , y = c , então:

y 3 x 3 3 - 1 3 . arctan ⁡ 3 x + C = c

Resposta

É   e x a t a

y 3 x 3 3 - 1 3 . arctan ⁡ 3 x + C = c

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