Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y a = c 1 . x b ,   a   e   b   c o n s t a n t e s

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos lá resolver mais uma!!

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y a = c 1 . x b , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y a = c 1 . x b     ( I )

Bom, a e b são constantes, então podemos usar aquela regrinha da derivada do polinômio mesmo né? Lembrando que do lado esquerdo temos que aplicar regra da cadeia:

a . y a - 1 . d y d x = b . c 1 . x b - 1

d y d x = b . c 1 . x b - 1 a . y a - 1       ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y a = c 1 . x b

c 1 = y a x b

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = b . y a x b . x b - 1 a . y a - 1

Sabemos que a divisão de potências da mesma base resulta na mesma base com a subtração dos expoentes, então x b - 1 x b = x b - 1 - b = x - 1

d y d x = b . y a . x - 1 a . y a - 1

Da mesma forma, y a y a - 1 = y a - a - 1 = y

Então, a equação diferencial da família dada é:

d y d x = b . y a . x

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = b . y a . x

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - a . x b . y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - a . x b . y

Multiplicando em cruz:

b . y   d y = - a . x   d x

Integrando dos dois lados:

∫ b . y   d y = - ∫ a . x   d x

b . y 2 2 + c 2 = - a . x 2 2 + c 3

Podemos juntar c 2 e c 3 e formar uma nova constante c 4

b . y 2 2 = - a . x 2 2 + c 4

Então, multiplicando tudo por 2 mandando tudo pra um lado só, temos que as trajetórias ortogonais são descritas assim:

b y 2 + a x 2 = c 4

Resposta

b y 2 + a x 2 = c 4

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