Enunciado

Nos problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = c 1 x

Passo 1

E aí, tudo bem?

Olha só, para encontrar trajetórias ortogonais de uma dada família de curvas, primeiro a gente tem que encontrar a equação diferencial tal que:

d y d x = f ( x , y )

No nosso caso, temos:

y = c 1 x

d y d x = c 1

Trocando c 1 por y x :

d y d x = y x

Passo 2

E aí a equação da família ortogonal é dada por:

d y d x =   - 1 f x , y

No nosso caso, temos:

d y d x =   - x y

E aí agora a gente vai resolver essa equação diferencial para encontrar a função y .

Passo 3

Separando a EDO, temos:

y   d y =   - x   d x

Integrando os dois lados:

∫ y   d y = ∫ - x   d x

y 2 2 = - x 2 2 + C

y 2 2 + x 2 2 = C

x 2 + y 2 = c 1

E essa é a família de trajetórias ortogonais 😉

Resposta

x 2 + y 2 = c 1

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