Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = e c 1 . x

Passo 1

E vamos de trajetórias ortogonais novamente

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por y = e c 1 . x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = e c 1 . x     ( I )

d y d x = c 1 . e c 1 . x     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = e c 1 . x

c 1 . x = ln ⁡ y

c 1 = ln ⁡ y x

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = ln ⁡ y x . e ln ⁡ y x . x

d y d x = ln ⁡ y x . e ln ⁡ y

Masss por propriedade de logaritmo, temos que e ln ⁡ a é o próprio a :

d y d x = ln ⁡ y x . y

Então, a equação diferencial da família dada é:

d y d x = y . ln ⁡ y x

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos d y d x = y . ln ⁡ y x

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - x y . ln ⁡ y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - x y . ln ⁡ y

Multiplicando em cruz:

y . ln ⁡ y   d y = - x   d x

Integrando dos dois lados:

∫ y . ln ⁡ y   d y = - ∫ x   d x

No lado esquerdo, vamos aplicar integral por partes com u = ln ⁡ y e d v = y , aí temos d u = 1 y e v = y 2 2

No lado direito vamos só usar a regrinha da integral de polinômios

ln ⁡ y . y 2 2 - ∫ y 2 2 . 1 y   d y = - x 2 2 + c 2

ln ⁡ y . y 2 2 - 1 2 ∫ y   d y = - x 2 2 + c 2

ln ⁡ y . y 2 2 - 1 2 y 2 2 + c 3 = - x 2 2 + c 2

Podemos juntar c 2 e c 3 e formar uma nova constante c 4

ln ⁡ y . y 2 2 - 1 2 y 2 2 = - x 2 2 + c 4

Multiplicando tudo por 4 , temos que as trajetórias ortogonais são descritas assim:

2 . ln ⁡ y . y 2 - y ² = - 2 x ² + c 4

Resposta

2 . ln ⁡ y . y 2 - y ² = - 2 x ² + c 4

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