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Nos Exercícios 5-10, determine as trajetórias ortogonais da família de curvas. Esboce vários membros de cada família.

6 - k x 2 + y 2 = 1

Passo 1

Primeiramente char K:

k x 2 = 1 - y 2

k = 1 - y 2 x 2

k ' = 0 teremos:

x 2 2 y y ' - 1 - y 2 2 x x 4 = 0

Resolvendo e achando: y ' :

- x 2 2 y y ' - 1 - y 2 2 x = 0 ⋅ x 4

- x 2 2 y y ' - 1 - y 2 2 x = 0

- x 2 2 y y ' = 1 - y 2 2 x

y ' = 1 - y 2 2 x - 2 x 2 y = 1 - y 2 - x y

Passo 2

Utlizando a função:

d d y d d x = y 2 + 1 x y 2 1 - y 2 x 2 y = ( y 2 + 1 ) ( x 2 y ) ( x y 2 ) ( 1 - y 2 ) = ( y 2 + 1 ) ( x ) y ( 1 - y 2 ) = x y 1 - y 2

Assim:

d y d x = x y 1 - y 2

Logo:

x d x = 1 - y 2 y d y

Integrando:

∫ 1 - y 2 y   d y =   ∫ x   d x ⇒ y 2 = ln ⁡ y - y 2 2 = x 2 2 + C

Resposta

ln ⁡ y - y 2 2 = x 2 2 + C

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