Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = ln ⁡ t g x + c 1

Passo 1

Bora bora que a gente já ta ficando craque em trajetórias ortogonais

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = ln ⁡ t g x + c 1 , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = ln ⁡ t g x + c 1 ( I )

Usando a regra da cadeia:

d y d x = d d x t g x + c 1 . d d x ( ln ⁡ t g x + c 1

d y d x = s e c 2 x . 1 t g x + c 1

d y d x = s e c 2 x t g x + c 1     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = ln ⁡ t g x + c 1

e y = t g x + c 1

c 1 = e y - t g ( x )

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = s e c 2 x t g x + e y - t g ( x )

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = s e c 2 x e y

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = s e c 2 x e y

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - e y s e c ² ( x )

Mas s e c 2 x = 1 c o s 2 x :

d y d x = - e y 1 c o s ² ( x )

Então, temos

d y d x = - e y . c o s ² ( x )

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - e y . c o s ² ( x )

1 e y d y = - c o s 2 x d x

Integrando dos dois lados:

- 1 e y = - x 2 - s e n 2 x 4 + c 2

Multiplicando tudo por -4, temos que as trajetórias ortogonais são descritas por

4 e - y = 2 x + s e n 2 x + c 2

Resposta

4 e - y = 2 x + s e n 2 x + c 2

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