Resolvax dy + (xy + y - x^2 - 2x) dx = 0 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x   d y + x y + y - x 2 - 2 x d x = 0

Vamos fazer uma substituição, u = x y , aí teremos:

d u = x   d y + y   d x

Aí a gente vai substituir isso na nossa EDO...

Passo 2

Substituindo aqui:

x   d y + x y + y - x 2 - 2 x d x = 0

x   d y + x y   d x + y   d x - x 2 d x - 2 x   d x = 0

d u + u   d x - x 2   d x - 2 x   d x = 0

d u = d x ( x 2 + 2 x - u )

d u d x + u = x 2 + 2 x

Essa é uma equação linear! Vamos resolvê-la...

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e - ∫ p x d x ∫ e ∫ p x d x q x   d x

Onde no nosso caso temos:

p x = 1

q x = x 2 + 2 x

Substituindo, ficamos com:

u = e - ∫ 1   d x ∫ e ∫ 1   d x ⋅ ( x 2 + 2 x )   d x

u = e - x ∫ e x ⋅ ( x 2 + 2 x )   d x

u = 1 e x x 2 e x + C

u = x 2 + C e x  

E aí é só voltar para y , sendo que u = x y :

x y - x 2 = C e x

E terminamos por aqui😉

Resposta

x y - x 2 = C e x

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