Enunciado

Resolva x d y + (x y + y - x^2 - 2 x) d x = 0 .

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Bora resolver essa equação aí?

x d y + (x y + y - x^2 - 2 x) d x = 0

Vamos fazer uma substituição, u = x y , aí teremos:

d u = x d y + y d x

Aí a gente vai substituir isso na nossa EDO...

Passo 2

Substituindo aqui:

x d y + (x y + y - x^2 - 2 x) d x = 0

x d y + x y d x + y d x - x^2 d x - 2 x d x = 0

d u + u d x - x^2 d x - 2 x d x = 0

d u = d x ( x^2 + 2 x - u )

(d u)/(d x) + u = x^2 + 2 x

Essa é uma equação linear! Vamos resolvê-la...

Passo 3

Vamos lá, a solução de uma equação linear é:

u = e^(- int p (x) d x) [int e^(int p (x) d x) q (x) d x]

Onde no nosso caso temos:

p (x) = 1

q (x) = x^2 + 2 x

Substituindo, ficamos com:

u = e^(- int 1 d x) [int e^(int 1 d x) * ( x^2 + 2 x ) d x]

u = e^(- x) [int e^x * ( x^2 + 2 x ) d x]

u = (1)/(e^x) [x^2 e^x + C]

u = x^2 + (C)/(e^x)

E aí é só voltar para y , sendo que u = x y :

x y - x^2 = (C)/(e^x)

E terminamos por aqui😉

Resposta

x y - x^2 = (C)/(e^x)

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