Enunciado

Nos Problemas 1-26, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.

y = - x - 1 + c 1 . e x

Passo 1

Bora bora que a gente já ta ficando craque em trajetórias ortogonais

Queremos as trajetórias ortogonais da família de curvas dada por   y = - x - 1 + c 1 . e x , né?

A gente viu que pra encontrar as trajetórias ortogonais, primeiro vamos encontrar a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , e aí a equação diferencial da família ortogonal vai ser

d y d x = - 1 f ( x , y )

Aí é só resolver pra encontrarmos as trajetórias ortogonais, vamos lá então?

Passo 2

Vamos começar encontrando a equação diferencial d y d x = f ( x , y ) , para isso, vamos derivar a função dada no enunciado:

y = - x - 1 + c 1 . e x   ( I )

d y d x = - 1 + c 1 . e x     ( I I )

Vamos isolar o c 1 na equação ( I ) , só pra aí a gente poder substituir na equação ( I I )

y = - x - 1 + c 1 . e x

c 1 . e x = y + x + 1

c 1 = y + x + 1 e x

Belezinha, vamos substituir esse c 1 na equação ( I I ) então

d y d x = - 1 + y + x + 1 e x . e x

d y d x = - 1 + y + x + 1

Então, a equação diferencial da família dada é

d y d x = x + y

Passo 3

Agora que temos a equação diferencial da família dada, podemos encontrar a equação diferencial da família ortogonal simplesmente invertendo, igual vimos lá no passo 1. Olha, temos

d y d x = x + y

Se invertermos o lado direito e acrescentarmos um sinal de menos, temos a equação diferencial da família ortogonal:

d y d x = - 1 x + y

Agora é só resolvermos essa equação diferencial :P

Passo 4

Temos

d y d x = - 1 x + y   ( I I I )

Vamos facilitar nossa vida invertendo as variáveis:

d x d y = - ( x + y )

d x d y = - x - y

Temos uma EDO linear na variável x , porque ela pode ser escrita no formato d x d y + A y . x = B ( y ) , olha:

d x d y + 1 . x = - y     ( I V )

Vimos que a solução de uma equação diferencial linear é dada por:

x ( y ) = 1 I y ∫ I y . B y   d y + c     ( V )

Onde I y = e ∫ A y   d y

Na nossa equação ( I V ) , temos A y = 1 e B y = - y então:

I x = e ∫ 1   d y

I x = e y

Belezinha, já temos o nosso fator de integração

Passo 5

Agora que temos o fator de integração, vamos substituir o que temos na expressão ( V ) :

x y = 1 e y ∫ e y . - y   d y + c

x y = 1 e y - e y . y + e y + c

x y = - y + 1 + c e y

Então, a solução da EDO, e consequentemente as trajetórias ortogonais, são dadas por

x y = - y + 1 + c e y

Resposta

x y = - y + 1 + c e y

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