Responde Aí

Enunciado

Nos problemas 1-36, encontre a solução geral para a equação diferencial dada.

y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

Passo 1

E aíí, vamos resolver essa equação diferencial!!

Temos uma equação diferencial de segunda ordem, então podemos usar a equação auxiliar (3) dessa seção do seu livro:

a m 2 + b m + c = 0

1) Se tivermos duas raízes reais e distintas ( m 1 e m 2 ), as soluções da EDO serão y 1 = e m 1 x e y 2 = e m 2 x , e aí a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . e m 2 x

2) Se tivermos duas raízes reais iguais, a solução geral é y = c 1 . e m 1 x + c 2 . x . e m 1 x

3) Se tivermos duas raízes complexas conjugadas (quando o delta é negativo sabe?), se m 1 = α + i β e m 2 = α - i β , a solução geral é y = e α x c 1 cos ⁡ β x + c 2 sen ⁡ β x

Então vamos lá??

Passo 2

Usando a equação auxiliar, vamos escrever y ' ' - 4 y ' + 5 y = 0

Assim:

m 2 - 4 m + 5 = 0

Vamos resolver essa equação

Calculando o :

∆ = ( - 4 ) 2 - 4.1 . 5

∆ = 16 - 20 = - 4

Então:

m = - ( - 4 ) ± - 4 2

m = 4 ± - 4 2

Como temos uma raiz negativa, vamos usar os números complexos:

m = 4 ± 4 ( - 1 ) 2

m = 4 ± 2 i 2

Então nossas soluções são

m 1 = 4 + 2 i 2 = 2 + i                         m 2 = 4 - 2 i 2 = 2 - i

Temos duas soluções complexas conjugadas, então aplicando o caso 3 lá do passo 1:

y = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

E é isso

Resposta

y = e 2 x c 1 cos ⁡ x + c 2 s e n x

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