Enunciado

Nos problemas 13-18, use os resultados dos Problemas 10,11 e 12 para encontrar uma solução particular para a equação diferencial dada em 0 ,   ∞ .

x 2 y ' ' + x 2 - 2 y = 0

Passo 1

Olá, tudo bem?

Nesse caso aqui a gente vai usar o resultado do Problema 12:

x 2 y ' ' + λ 2 x 2 - v 2 + 1 4 y = 0

Possui a solução particular y = x J v λ x .

Então vamos trazer isso para o nosso caso.

Precisamos que:

x 2 - 2 = λ 2 x 2 - v 2 + 1 4

Passo 2

E analisando essa igualdade, vemos que:

λ 2 = 1 → λ = 1

v 2 = 9 4 → v = ± 3 2

E aí, a nossa solução particular é:

  y = x   J 3 2 x

o u

  y = x   J - 3 2 x

E prontinho 😉

Resposta

  y = x   J 3 2 x

o u

  y = x   J - 3 2 x

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Nos Problemas 23-26, use (14) ou (15) para obter os resultados pedidos. ∫ x n J 0 x d x = x n J 1 x + n - 1 x n - 1 J 0 x - n - 1 2 ∫ x n - 2 J 0 x d x
Se y 1 = J 0 ( x ) for uma solução para a equação de Bessel de ordem zero, verifique que uma outra solução é: y 2 = J 0 x ln ⁡ x + x 2 4 - 3 x 4 128 + 11 x 6 13824
Use (7) com v = m , em que m é um inteiro não negativo, para mostrar que J m - x = - 1 m J m ( x )
Use (8) com v = m , em que m é um inteiro positivo, e o fato de que 1 Γ N = 0 , em que N é um inteiro negativo, para mostrar que: J - m x = - 1 m J m ( x )